دیفرانسیل (ریاضیات)

برای دیگر کاربردها، دیفرانسیل را ببینید.

دیفرانسیل (به انگلیسی: differential)، در ریاضیات، به تفاوت‌های بی‌نهایت‌کوچک یا به مشتق توابع اشاره دارد. این اصطلاح در شاخه‌های متفاوتی از ریاضیات مثل حسابان، هندسه دیفرانسیل، هندسه جبری، و توپولوژی جبری استفاده می‌شود.

مقدمه

اصطلاح دیفرانسیل به طور غیر دقیق در حساب دیفرانسیل و انتگرال برای اشاره به تغییر بی نهایت کوچک ("بی انتها کوچک") در مقداری متفاوت استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر x یک متغیر است، آنگاه تغییر در مقدار x اغلب Δx نشان داده می‌شود (دلتا x تلفظ می‌شود). دیفرانسیل dx نشان دهنده یک تغییر بی نهایت کوچک در متغیر x است. ایده یک تغییر بی نهایت کوچک یا بی نهایت آهسته، به طور شهودی، بسیار مفید است، و تعدادی راه برای دقیق کردن این مفهوم از نظر ریاضی وجود دارد. با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال، می توان تغییرات بی نهایت کوچک متغیرهای مختلف را با استفاده از مشتقات به یکدیگر به صورت ریاضی مرتبط کرد. اگر y تابعی از x باشد، دیفرانسیل dy از y با فرمول به dx مربوط می شود.

Dy = Dy ÷ Dx, Dx¹ وقتی Dy ÷ Dx مشتق y را نسبت به x نشان می دهد. این فرمول این ایده شهودی را خلاصه می کند که مشتق y با توجه به x حد نسبت تفاوت Δy/Δx است زیرا Δx بی نهایت کوچک می شود. *مفاهیم اساسی در حساب دیفرانسیل، دیفرانسیل نشان دهنده تغییر در خطی شدن یک تابع است. دیفرانسیل کل تعمیم آن برای توابع چند متغیر است.در رویکردهای سنتی به حساب دیفرانسیل و انتگرال، دیفرانسیل ها (به عنوان مثال dx، dy، dt، و غیره) به عنوان بی نهایت کوچک تفسیر می شوند. چندین روش برای تعریف دقیق بینهایت کوچک وجود دارد، اما کافی است بگوییم که یک عدد بینهایت کوچک از نظر قدر مطلق کوچکتر از هر عدد حقیقی مثبت است، همانطور که یک عدد بی نهایت بزرگ از هر عدد واقعی بزرگتر است. دیفرانسیل نام دیگری برای ماتریس ژاکوبین مشتقات جزئی یک تابع از Rn تا Rm است (مخصوصاً زمانی که این ماتریس به صورت یک نقشه خطی مشاهده شود). به طور کلی تر، دیفرانسیل یا فشار به جلو به مشتق نقشه بین منیفولدهای صاف و عملیات فشار به جلو که تعریف می کند اشاره دارد. دیفرانسیل همچنین برای تعریف مفهوم دوگانه عقب نشینی استفاده می شود. حساب تصادفی مفهومی از دیفرانسیل تصادفی و یک حساب مرتبط برای فرآیندهای تصادفی را ارائه می دهد. انتگرال در یک انتگرال Stieltjes به عنوان دیفرانسیل یک تابع نشان داده می شود. به طور رسمی، دیفرانسیل که در زیر انتگرال ظاهر می شود دقیقاً مانند یک دیفرانسیل رفتار می کند: بنابراین، ادغام با جایگزینی و ادغام توسط فرمول های قطعات برای انتگرال Stieltjes به ترتیب با قانون زنجیره ای و قانون محصول برای دیفرانسیل مطابقت دارد.

تاریخچه و استفاده ها

کمیت های بی نهایت کوچک نقش مهمی در توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال داشتند. اسحاق نیوتن از آنها به عنوان fluxions یاد کرد. با این حال، این گوتفرید لایبنیتس بود که اصطلاح دیفرانسیل را برای کمیت های بی نهایت کوچک ابداع کرد و نمادی را برای آنها معرفی کرد که هنوز هم امروزه استفاده می شود. در نماد لایب نیتس، اگر x یک کمیت متغیر است، dx بیانگر تغییر بی نهایت کوچک در متغیر x است. بنابراین، اگر y تابعی از x باشد، مشتق y با توجه به x اغلب به dy/dx نشان داده می‌شود، که در غیر این صورت (با نماد نیوتن یا لاگرانژ) x یا y' نشان داده می‌شود. استفاده از دیفرانسیل ها در این شکل مورد انتقاد بسیاری قرار گرفت، به عنوان مثال در جزوه معروف آنالیزگر اثر اسقف برکلی. با این وجود، نماد همچنان محبوب باقی مانده است زیرا به شدت این ایده را پیشنهاد می کند که مشتق y در x سرعت تغییر آنی آن است (شیب خط مماس نمودار)، که ممکن است با گرفتن حد نسبت Δy/Δx به دست آید. همانطور که Δx خودسرانه کوچک می شود. دیفرانسیل ها همچنین با تجزیه و تحلیل ابعادی سازگار هستند، جایی که یک دیفرانسیل مانند dx ابعادی مشابه با متغیر x دارد. حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن هفدهم میلادی به شاخه ای متمایز از ریاضیات تبدیل شد، اگرچه پیشینه هایی وجود داشت که به دوران باستان بازمی گشتند. ارائه‌های مثلاً نیوتن، لایب‌نیتس با تعاریف غیر دقیق از اصطلاحاتی مانند دیفرانسیل، روان و «بی‌نهایت کوچک» مشخص شدند. در حالی که بسیاری از استدلال های اسقف برکلی در سال ۱۷۳۴ تحلیلگر ماهیت الهیاتی دارند، ریاضیدانان مدرن اعتبار استدلال او را در برابر "اشباح مقادیر از دست رفته" تصدیق می کنند. با این حال، رویکردهای مدرن همان مسائل فنی را ندارند. علیرغم عدم دقت، پیشرفت های عظیمی در قرن های ۱۷ و ۱۸ میلادی حاصل شد. در قرن نوزدهم، کوشی و دیگران به تدریج رویکرد اپسیلون، دلتا را برای تداوم، محدودیت‌ها و مشتقات توسعه دادند، که یک پایه مفهومی محکم برای حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌دهد. در قرن بیستم، چندین مفهوم جدید مانند حساب چند متغیره، هندسه دیفرانسیل، به نظر می رسید که هدف اصطلاحات قدیمی، به ویژه دیفرانسیل را در بر می گیرد. هر دو دیفرانسیل و بینهایت کوچک با معانی جدید و دقیق تر استفاده می شوند. دیفرانسیل ها همچنین در نمادگذاری انتگرال ها استفاده می شوند زیرا یک انتگرال را می توان به عنوان مجموع نامتناهی از مقادیر بی نهایت کوچک در نظر گرفت: مساحت زیر یک نمودار با تقسیم نمودار به نوارهای بی نهایت نازک و جمع مساحت آنها به دست می آید. در بیانی مانند: انتگرال> اف ایکس>دی ایکس, علامت انتگرال (که یک s بلند اصلاح شده است) نشان دهنده مجموع بی نهایت، f(x) نشان دهنده "ارتفاع" یک نوار نازک، و دیفرانسیل dx نشان دهنده عرض بی نهایت نازک آن است.

رویکردها

چندین رویکرد برای دقیق کردن مفهوم دیفرانسیل ها از نظر ریاضی وجود دارد:

۱-دیفرانسیل ها به عنوان نقشه های خطی. این رویکرد زیربنای تعریف مشتق و مشتق خارجی در هندسه دیفرانسیل است. ۲-دیفرانسیل ها به عنوان عناصر ماتریکس nilpotent(نقطه صفر) حلقه های جابجایی. این رویکرد در هندسه جبری رایج است. ۳-دیفرانسیل در مدل های صاف نظریه مجموعه ها. این رویکرد به نام هندسه دیفرانسیل مصنوعی یا تحلیل بی‌نهایت کوچک هموار شناخته می‌شود و ارتباط نزدیکی با رویکرد هندسی جبری دارد، با این تفاوت که ایده‌هایی از نظریه توپوس برای پنهان کردن مکانیسم‌هایی استفاده می‌شود که توسط آن بی‌نهایت‌های بی‌قدرت nilpotent معرفی می‌شوند. ۴-دیفرانسیل‌ها به‌عنوان بی‌نهایت کوچک در سیستم‌های اعداد فراواقعی، که پسوند اعداد حقیقی هستند که شامل اعداد بی‌نهایت کوچک و بی‌نهایت بزرگ هستند. این رویکرد تحلیل غیراستاندارد پیشگام آبراهام رابینسون است.

• این رویکردها بسیار متفاوت از یکدیگر هستند، اما در ایده کمی بودن مشترک هستند، یعنی نه تنها می گویند که یک تفاوت بی نهایت کوچک است، بلکه چقدر کوچک است!

دیفرانسیل ها به عنوان نقشه های خطی

یک راه ساده برای درک دقیق دیفرانسیل ها وجود دارد که برای اولین بار در خط حقیقی با در نظر گرفتن آنها به عنوان نقشه های خطی استفاده شد. می توان از آن استفاده کرد: اعداد حقیقی و اعداد حقیقی بی نهایت یک فضای هیلبرت، یک فضای باناخ، یا به طور کلی، یک فضای برداری توپولوژیکی. مورد خط حقیقی ساده ترین توضیح است. این نوع دیفرانسیل بسته به زمینه، به عنوان بردار کوواریانت یا بردار کوتانژانت نیز شناخته می شود.

نگارخانه

تعریف دیفرانسیل تابع

مفهوم دیفرانسیل تابع پیش‌زمینه‌ای برای مشتق، شیب خط و انتگرال بوده و آموزش آن به منظور یادگیری مفاهیم حسابان ضروری است.

به بیان ساده، دیفرانسیل یک تابع، تغییر جزئی (بسیار کوچک) عرض (مختص ${\displaystyle y}$) خط مماس بر نمودار تابع است وقتی متغیر مستقل تابع، تغییر می‌کند.^[۱]

دیفرانسیل یعنی تغیرات آنی خطوط مماس بر منحنی، نسبت به متغیر مستقل.

اگر ${\displaystyle y=t(x)}$ نمودار خط مماس بر منحنی در نقطه ${\displaystyle a}$ باشد، دیفرانسیل تابع تک‌متغیرهٔ ${\displaystyle f}$ در نقطه ی ${\displaystyle a}$ به‌صورت‌ زیر به‌دست می‌آید^[۲]؛

${\displaystyle df(a)=t(a+\Delta x)-f(a)}$

از آن جایی که:

${\displaystyle t(a+\Delta x)=f(a)+f'(a)\Delta x}$

داریم:

${\displaystyle df(a)=f'(a)\Delta x=f'(a)dx}$

بنابراین دیفرانسیل تابع ${\displaystyle f}$ در هر نقطه ی ${\displaystyle x}$ برابر است با:

${\displaystyle df(x)=f'(x)dx}$

که ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$، مشتق تابع در نقطه ی ${\displaystyle x}$ است، و ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ دیفرانسیل ${\displaystyle x}$ (تغییر بسیار کوچک متغیر مستقل تابع) است.

جستارهای وابسته

• حساب دیفرانسیل و انتگرال
• حد
• مشتق
• انتگرال

1. "Differential (mathematics)". Wikipedia (به انگلیسی). 2018-08-29.
2. حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه ی تحلیلی (کتاب عام). ج. ۱ جلد. ریچارد ا.سیلورمن. ترجمه ی دکتر علی اکبر عالم زاده.