عدد ابرحقیقی

بی‌نهایت کوچک‌ها(ε) و بی‌نهایت‌ها (ω) روی محور اعداد ابرحقیقی (ε = وارون ضربی ω)

سیستم اعداد ابرحقیقی (نماد: R* و به انگلیسی: Hyperreal number) یک راه رفتار با کمیت‌های بی‌نهایت بزرگ و کوچک است. اعداد ابرحقیقی یا حقیقی‌های غیر استاندارد یک توسعه اعداد حقیقی هستند که شامل اعدادی بزرگتر از هرچیز به قالب

${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ (برای هر تعداد متناهی از جملات) می‌باشند.

عدد ابرحقیقی ${\displaystyle x}$ متناهی است، اگر و تنها اگر به ازای هر ${\displaystyle n}$ ، ${\displaystyle |x|<n}$. همچنین، ${\displaystyle x}$ بینهایت کوچک است، اگر و تنها اگر به ازای هر ${\displaystyle n}$ ، ${\displaystyle |x|<1/n}$. قوانین منطق مرتبه اول در مجموعه اعداد حقیقی ${\displaystyle \mathbb {R} }$ برای ${\displaystyle \mathbb {R*} }$ نیز صادق است. به عنوان مثال، خاصیت جابجایی جمع ${\displaystyle x+y=y+x}$ برای مجموعه اعداد ابرحقیقی نیز برقرار می باشد.

چنین اعدادی بی‌نهایت و وارون ضربی آنها بی‌نهایت کوچک هستند. اصطلاح «ابرحقیقی» توسط ادوین هیویت در سال ۱۹۴۸ معرفی شد.^[۱]

منابع

1. هیویت (1948) p. 74 عنوان گزارش در Keisler (1994)

پیوند به بیرون

• [۱] مقدمه‌ای بسیار کوتاه بر آنالیز غیراستاندارد و اعداد ابرحقیقی
• Crowell, Calculus. یک متن در مورد بی‌نهایت کوچک‌ها.
• Hermoso, آنالیز غیر استاندارد و اعداد ابرحقیقی. مقدمه‌ای آرام.
• Keisler, حسابان مقدماتی: با رویکرد بی‌نهایت کوچک‌ها. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license