هندسه ناجابجایی

هندسه ناجابجایی (به انگلیسی: Noncommutative Geometry) (NCG) شاخه‌ای از ریاضیات است که به دنبال رهیافتی هندسی برای جبر ناجابجایی می‌باشد و این کار را با ساختن فضاهایی انجام می‌دهد که به‌طور موضعی توسط جبرهای ناجابجایی توابع (احتمالاً به شکل تعمیم یافتهٔ آن) نمایشه یافته‌اند. یک جبر ناجابجایی جبری شرکت پذیر است که در آن عمل ضرب جابجایی نیست، یعنی در آن xy لزوماً برابر با yx نیست؛ یا به‌طور کلی تر، ساختاری جبریست که در آن یکی از عملیات دوتایی بنیادینش جابجاپذیر نمی‌باشد. به این ساختار ناجابجایی از توابع، ساختارهای اضافی چون توپولوژی یا نرم هم اضافه می‌شود.

یکی از رهیافت‌هایی که موجب به‌وجود آمدن بینش عمیقی در مورد فضاهای ناجابجایی می‌گردد، از طریق جبرهای عملگری است (یعنی جبر عملگرهای خطی کراندار روی یک فضای هیلبرت).^[۱] شاید یکی از مثال‌های نمونه‌ای و خوب از فضاهای ناجابجایی، «چنبره‌های ناجابجایی» باشند، که در اوایل توسعه این شاخه علمی در دهه ۱۹۸۰ میلادی نقش کلیدی داشته و منجر به تولید نسخه‌های ناجابجایی از کلاف‌های برداری، التصاق‌ها، انحناها و … شدند.^[۲]

انگیزه‌ها

اولین انگیزه برای هندسه ناجابجایی، توسعهٔ دوگانی بین فضاها و توابع در بستر ناجابجایی است. در ریاضیات، فضاهایی که ماهیت هندسی دارند را می‌توان به توابع عددی بر روی آن‌ها مرتبط ساخت. در کل چنین توابعی به شکل حلقه‌های ناجابجایی هستند. به عنوان مثال، می‌توان حلقه C(X) از توابع پیوسته مختلط-مقدار را که بر روی یک فضای توپولوژیکی مثل X تعریف شده‌اند را در نظر گرفت. در بسیاری از موارد (به عنوان مثال زمانی که این فضا، یک فضای هاسدورف فشرده باشد)، می‌توانیم X را از روی C(X) بازسازی کرد و لذا معنادار است که بگوییم X یک توپولوژی جابجایی دارد.

ارجاعات

1. Khalkhali & Marcolli 2008, p. 171.
2. Khalkhali & Marcolli 2008, p. 21.

منابع

• Connes, Alain (1994), Non-commutative geometry (PDF), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-185860-5
• Connes, Alain; Marcolli, Matilde (2008), "A walk in the noncommutative garden", An invitation to noncommutative geometry, World Sci. Publ. , Hackensack, NJ, pp. 1–128, arXiv:math/0601054, Bibcode:2006math......1054C, MR 2408150
• Connes, Alain; Marcolli, Matilde (2008), Noncommutative geometry, quantum fields and motives (PDF), American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 55, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4210-2, MR 2371808, archived from the original (PDF) on 29 December 2009, retrieved 31 August 2019
• Gracia-Bondia, Jose M; Figueroa, Hector; Varilly, Joseph C (2000), Elements of Non-commutative geometry, Birkhauser, ISBN 978-0-8176-4124-5
• Khalkhali, Masoud; Marcolli, Matilde, eds. (2008). An Invitation to non-Commutative Geometry. World Scientific. ISBN 978-981-270-616-4.
• Landi, Giovanni (1997), An introduction to noncommutative spaces and their geometries, Lecture Notes in Physics. New Series m: Monographs, vol. 51, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. arXiv:hep–th/9701078, arXiv:hep-th/9701078, Bibcode:1997hep.th....1078L, ISBN 978-3-540-63509-3, MR 1482228
• Van Oystaeyen, Fred; Verschoren, Alain (1981), Non-commutative algebraic geometry, Lecture Notes in Mathematics, vol. 887, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11153-5

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Noncommutative Geometry». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲ ژوئن ۲۰۲۱.

برای مطالعه بیشتر

• Consani, Caterina; Connes, Alain, eds. (2011), Noncommutative geometry, arithmetic, and related topics. Proceedings of the 21st meeting of the Japan-U.S. Mathematics Institute (JAMI) held at Johns Hopkins University, Baltimore, MD, USA, March 23–26, 2009, Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, Zbl 1245.00040
• Grensing, Gerhard (2013). Structural aspects of quantum field theory and noncommutative geometry. Hackensack New Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4472-69-2.