گرانش کوانتومی حلقه‌ای

گرانش کوانتومی حلقه‌ای (loop quantum gravity) (مخفف: LQG)، یک نظریه گرانش کوانتومی است که هدف آن ادغام مکانیک کوانتومی و نسبیت عام است تا بدین طریق مواد سازنده مدل استاندارد را در چارچوبی جهت ایجاد حالت خالصی از گرانش کوانتومی متحد سازد. این شاخه در تلاش است تا نظریه کوانتومی از گرانش را توسعه دهد که به‌طور مستقیم بر روی فرمولاسیون هندسی انشتین بنا نهاده شده و گرانش را به عنوان یک نیرو نگاه نمی‌کند. LQG به عنوان یک نظریه، ساختار فضا-زمان را به گونه‌ای فرضیه‌سازی می‌کند که گویی از حلقه‌های متناهی تشکیل شده که در بافت یا شبکهٔ فوق‌العاده ظریفی در هم تنیده شده‌اند. این شبکهٔ حلقه‌ای را شبکه اسپین می‌نامند. تکامل شبکه‌های اسپینی یا کف اسپینی دارای مقیاسی از مرتبهٔ بیش از طول پلانک، حدوداً ${\displaystyle 10^{-35}}$ متر است و مقیاس‌های کوچکتر از این حد بی‌معناست. نتیجتاً نه تنها ماده بلکه خود فضا نیز ساختار اتمی را ترجیح می‌دهد.

این حوزه‌های تحقیقاتی که در برگیرندهٔ ۳۰ گروه تحقیقاتی در سطح جهان است،^[۱] دارای فرضیات پایه‌ای فیزیکی و توصیفات ریاضیاتی مشترکی از فضای کوانتومی هستند. تحقیقات حول دو جهت تکامل یافته‌اند: گرانش کوانتومی حلقه‌ای کانونی سنتی‌تر و گرانش کوانتومی حلقه‌ای کواریانت جدیدتر که به آن نظریه کف اسپینی می‌گویند. تکامل‌یافته‌ترین نظریه‌ای که به عنوان نتیجهٔ مستقیمی از گرانش کوانتومی حلقه‌ای ترقی یافته را «کیهانشناسی کوانتومی حلقه‌ای» (LQC) می‌نامند. LQC مطالعه جهان اولیه را به پیش می‌برد که مفهوم مه‌بانگ را در نظریه وسیع‌تر جهش بزرگ متحد ساخته و مه‌بانگ را به عنوان آغاز دوره انبساط می‌بیند که پس از آن دوره انقباض می‌آید، در این مرحله می‌توان از رمبش عظیم صحبت کرد.

تاریخچه

ابهی اشتکار در ۱۹۸۶ میلادی نسبیت عام انشتین را به زبانی فرموله‌سازی مجدد کرد که با بقیه فیزیک بنیادی نزدیکتر است، بخصوص نظریه یانگ-میلز.^[۲] مدت کوتاهی پس از آن تد جیکوبسن و لی اسمولین متوجه شدند که معادله صوری نسبیت عام که به آن معادله ویلر-دویت گفته می‌شود، جواب‌هایی را می‌پذیرد که هنگام بازنویسی شدن برحسب متغیرهای اشتکار جدید توسط حلقه‌ها برچسب‌گذاری می‌شوند. کارلو روولی و اسمولین یک نظریه کوانتومی غیر-اختلالی و مستقل از پس‌زمینه‌ای از گرانش را برحسب این جواب‌های حلقه‌ای تعریف نمودند. خورخه پولین و جرزی لواندووسکی فهمیدند که تقاطع حلقه‌ها برای سازگاری این نظریه حیاتی بوده و این نظریه باید برحسب تقاطع حلقه‌ها یا گراف‌ها فرموله شود.

روولی و اسمولین در ۱۹۹۴ میلادی نشان داند که عملگرهای کوانتومی این نظریه متناظر با مساحت و حجم یک طیف گسسته‌اند؛ یعنی هندسه کوانتیزه است. این نتیجه پایه صریحی از هندسه کوانتومی تعریف نموده و مشخص می‌شود که به نوبه خود توسط شبکه اسپینی راجر پنروز برچسب‌زنی می‌شود، یعنی همان گراف‌هایی که توسط اسپین‌ها برچسب زده می‌شوند.

نسخه کانونی این دینامیک توسط توماس تیمن بنا نهاده شد، او بود که یک عملگر همیلتونی آزاد از ناهنجاری تعریف کرده و وجود نظریه مستقل از پس‌زمینه‌ای که از نظر ریاضیاتی سازگار باشد را نشان داد. این نسخه کوواریان یا «کف اسپینی» از این دینامیک طی چندین دهه توسط کار مشترک گروه‌های تحقیقاتی در فرانسه، کانادا، پادشاهی متحده، لهستان و آلمان توسعه یافت. این نسخه در ۲۰۰۸ میلادی تکمیل شده و منجر به تعریف خانواده‌ای از دامنه‌های گذار شد و نشان داده شد که اینها در حد کلاسیک با خانواده‌ای از برش‌های نسبیت عام مرتبط اند.^[۳] متناهی بودن این دامنه‌ها در ۲۰۱۱ میلادی اثبات شد.^[۴][۵] اثبات آن نیازمند ثابت کیهانی مثبتی است که با انبساط شتابدار جهان مشاهده شده سازگار باشد.

جستارهای وابسته

• متغیرهای اشتکار
• سی*-جبر
• نظریه رسته‌ها
• نسبیت خاص مضاعف
• هندسه ناجابجایی
• نظریه ریسمان
• ابرتقارن

ارجاعات

1. Rovelli 2008.
2. Ashtekar, Abhay (3 November 1986). "New Variables for Classical and Quantum Gravity". Physical Review Letters. 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986PhRvL..57.2244A. doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID 10033673.
3. Rovelli 2011.
4. Muxin 2011, p. 064010.
5. Fairbairn & Meusburger 2011.

منابع

• Aastrup, Johannes (2012). "Intersecting Quantum Gravity with Noncommutative Geometry – a Review". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 8: 018. arXiv:1203.6164. Bibcode:2012SIGMA...8..018A. doi:10.3842/SIGMA.2012.018. S2CID 18279314.
• Alesci, E.; Thiemann, T.; Zipfel, A. (2011). "Linking covariant and canonical LQG: new solutions to the Euclidean Scalar Constraint". Physical Review D. 86 (2): 024017. arXiv:1109.1290. Bibcode:2012PhRvD..86b4017A. doi:10.1103/PhysRevD.86.024017. S2CID 119210827.
• Alexander, Stephon; Marcianò, Antonino; Smolin, Lee (2014). "Gravitational origin of the weak interaction's chirality". Physical Review D. 89 (6): 065017. arXiv:1212.5246. Bibcode:2014PhRvD..89f5017A. doi:10.1103/PhysRevD.89.065017. S2CID 118727458.
• Alexander, Stephon; Marcianò, Antonino; Tacchi, Ruggero Altair (2012). "Towards a Loop Quantum Gravity and Yang–Mills unification". Physics Letters B. 716 (2): 330. arXiv:1105.3480. Bibcode:2012PhLB..716..330A. doi:10.1016/j.physletb.2012.07.034. S2CID 118655185.
• Ansari, M. H. (2007). "Spectroscopy of a canonically quantized horizon". Nucl. Phys. B. 783 (3): 179–212. arXiv:hep-th/0607081. Bibcode:2007NuPhB.783..179A. doi:10.1016/j.nuclphysb.2007.01.009. S2CID 9966483.
• Ansari, M. H. (2008). "Generic degeneracy and entropy in loop quantum gravity". Nucl. Phys. B. 795 (3): 635–644. arXiv:gr-qc/0603121. Bibcode:2008NuPhB.795..635A. doi:10.1016/j.nuclphysb.2007.11.038. S2CID 119039723.
• Ashtekar, A.; Bombelli, L.; Corichi, A. (2005). "Semiclassical States for Constrained Systems". Physical Review D. 72 (1): 025008. arXiv:hep-ph/0504114. Bibcode:2005PhRvD..72a5008C. doi:10.1103/PhysRevD.72.015008. S2CID 16541870.
• Ashtekar, Abhay; Baez, John; Corichi, Alejandro; Krasnov, Kirill (1998). "Quantum Geometry and Black Hole Entropy". Physical Review Letters. 80 (5): 904–907. arXiv:gr-qc/9710007. Bibcode:1998PhRvL..80..904A. doi:10.1103/PhysRevLett.80.904. S2CID 18980849.
• Ashtekar, Abhay; Engle, Jonathan; Broeck, Chris Van Den (2005). "Quantum horizons and black-hole entropy: Inclusion of distortion and rotation". Classical and Quantum Gravity. 22 (4): L27. arXiv:gr-qc/0412003. Bibcode:2005CQGra..22L..27A. doi:10.1088/0264-9381/22/4/L02. S2CID 53842643.
• Baez, J.; de Muniain, J. P. (1994). Gauge Fields, Knots and Quantum Gravity. Series on Knots and Everything. Vol. 4. World Scientific. Part III, chapter 4. ISBN 978-981-02-1729-7.
• Bahr, Benjamin; Thiemann, Thomas (2007). "Approximating the physical inner product of loop quantum cosmology". Classical and Quantum Gravity. 24 (8): 2109–2138. arXiv:gr-qc/0607075. Bibcode:2007CQGra..24.2109B. doi:10.1088/0264-9381/24/8/011. S2CID 13953362.
• Barrett, J.; Crane, L. (2000). "A Lorentzian signature model for quantum general relativity". Classical and Quantum Gravity. 17 (16): 3101–3118. arXiv:gr-qc/9904025. Bibcode:2000CQGra..17.3101B. doi:10.1088/0264-9381/17/16/302. S2CID 14192824.
• Bianchi, Eugenio (18–20 January 2010). "Loop Quantum Gravity" (PDF). Institut de Physique de Nice. Archived from the original (PDF) on 18 October 2016.
• Bianchi, Eugenio (2012). "Entropy of Non-Extremal Black Holes from Loop Gravity". arXiv:1204.5122 [gr-qc].
• Bilson-Thompson, Sundance (2012). "Emergent Braided Matter of Quantum Geometry". Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 8: 014. arXiv:1109.0080. Bibcode:2012SIGMA...8..014B. doi:10.3842/SIGMA.2012.014. S2CID 14955019.
• Bilson-Thompson, Sundance O; Markopoulou, Fotini; Smolin, Lee (2007). "Quantum gravity and the standard model". Classical and Quantum Gravity. 24 (16): 3975–3994. arXiv:hep-th/0603022. Bibcode:2007CQGra..24.3975B. doi:10.1088/0264-9381/24/16/002. S2CID 37406474.
• Bodendorfer, N. (2013). "Black hole entropy from loop quantum gravity in higher dimensions". Physics Letters B. 726 (4–5): 887–891. arXiv:1307.5029. Bibcode:2013PhLB..726..887B. doi:10.1016/j.physletb.2013.09.043. S2CID 119331759.
• Bodendorfer, N.; Thiemann, T.; Thurn, A. (2012). "Towards Loop Quantum Supergravity (LQSG)". Physics Letters B. 711 (2): 205. arXiv:1106.1103. Bibcode:2012PhLB..711..205B. doi:10.1016/j.physletb.2012.04.003. S2CID 67817878.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2013a). "New variables for classical and quantum gravity in all dimensions: I. Hamiltonian analysis". Classical and Quantum Gravity. 30 (4): 045001. arXiv:1105.3703. Bibcode:2013CQGra..30d5001B. doi:10.1088/0264-9381/30/4/045001. S2CID 55215120.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2013b). "New variables for classical and quantum gravity in all dimensions: II. Lagrangian analysis". Classical and Quantum Gravity. 30 (4): 045002. arXiv:1105.3704. Bibcode:2013CQGra..30d5002B. doi:10.1088/0264-9381/30/4/045002. S2CID 55736166.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2013c). "New variables for classical and quantum gravity in all dimensions: III. Quantum theory". Classical and Quantum Gravity. 30 (4): 045003. arXiv:1105.3705. Bibcode:2013CQGra..30d5003B. doi:10.1088/0264-9381/30/4/045003. S2CID 55516259.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2013d). "New variables for classical and quantum gravity in all dimensions: IV. Matter coupling". Classical and Quantum Gravity. 30 (4): 045004. arXiv:1105.3706. Bibcode:2013CQGra..30d5004B. doi:10.1088/0264-9381/30/4/045004. S2CID 55530282.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2013e). "On the implementation of the canonical quantum simplicity constraint". Classical and Quantum Gravity. 30 (4): 045005. arXiv:1105.3707. Bibcode:2013CQGra..30d5005B. doi:10.1088/0264-9381/30/4/045005. S2CID 56074665.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2013f). "Towards loop quantum supergravity (LQSG): I. Rarita–Schwinger sector". Classical and Quantum Gravity. 30 (4): 045006. arXiv:1105.3709. Bibcode:2013CQGra..30d5006B. doi:10.1088/0264-9381/30/4/045006. S2CID 55726240.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2013g). "Towards loop quantum supergravity (LQSG): II.p-form sector". Classical and Quantum Gravity. 30 (4): 045007. arXiv:1105.3710. Bibcode:2013CQGra..30d5007B. doi:10.1088/0264-9381/30/4/045007. S2CID 56562416.
• Bodendorfer, N; Thiemann, T; Thurn, A (2014). "New variables for classical and quantum gravity in all dimensions: V. Isolated horizon boundary degrees of freedom". Classical and Quantum Gravity. 31 (5): 055002. arXiv:1304.2679. Bibcode:2014CQGra..31e5002B. doi:10.1088/0264-9381/31/5/055002. S2CID 119265359.
• Bohm, D. (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-65969-5.
• Bohr, N. (1920). "Über die Serienspektra der Element". Zeitschrift für Physik. 2 (5): 423–478. Bibcode:1920ZPhy....2..423B. doi:10.1007/BF01329978. S2CID 121792424.
• Bojowald, Martin (October 2008). "Big Bang or Big Bounce?: New Theory on the Universe's Birth". Scientific American.(available here as of ۲ مه ۲۰۱۷)
• Bojowald, Martin; Perez, Alejandro (2009). "Spin foam quantization and anomalies". General Relativity and Gravitation. 42 (4): 877. arXiv:gr-qc/0303026. Bibcode:2010GReGr..42..877B. doi:10.1007/s10714-009-0892-9. S2CID 118474.
• Bousso, Raphael (2002). "The Holographic Principle". Reviews of Modern Physics. 74 (3): 825–874. arXiv:hep-th/0203101. Bibcode:2002RvMP...74..825B. doi:10.1103/RevModPhys.74.825. S2CID 55096624.
• Brunnemann, J; Thiemann, T (2006a). "On (cosmological) singularity avoidance in loop quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 23 (5): 1395–1428. arXiv:gr-qc/0505032. Bibcode:2006CQGra..23.1395B. doi:10.1088/0264-9381/23/5/001. S2CID 17901385.
• Brunnemann, J; Thiemann, T (2006b). "Unboundedness of triad-like operators in loop quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 23 (5): 1429–1484. arXiv:gr-qc/0505033. Bibcode:2006CQGra..23.1429B. doi:10.1088/0264-9381/23/5/002. S2CID 15885452.
• Conrady, Florian; Doplicher, Luisa; Oeckl, Robert; Rovelli, Carlo; Testa, Massimo (2004). "Minkowski vacuum in background independent quantum gravity". Physical Review D. 69 (6): 064019. arXiv:gr-qc/0307118. Bibcode:2004PhRvD..69f4019C. doi:10.1103/PhysRevD.69.064019. S2CID 30190407.
• Conrady, Florian; Rovelli, Carlo (2004). "Generalized Schrödinger Equation in Euclidean Field Theory". International Journal of Modern Physics A. 19 (24): 4037. arXiv:hep-th/0310246. Bibcode:2004IJMPA..19.4037C. doi:10.1142/S0217751X04019445. S2CID 18048123.
• Dittrich, B (2006). "Partial and Complete Observables for Canonical General Relativity". Classical and Quantum Gravity. 23 (22): 6155–6184. arXiv:gr-qc/0507106. Bibcode:2006CQGra..23.6155D. doi:10.1088/0264-9381/23/22/006. S2CID 6945571.
• Dittrich, B. (2007). "Partial and Complete Observables for Hamiltonian Constrained Systems". General Relativity and Gravitation. 39 (11): 1891–1927. arXiv:gr-qc/0411013. Bibcode:2007GReGr..39.1891D. doi:10.1007/s10714-007-0495-2. S2CID 14617707.
• Dittrich, B; Thiemann, T (2006a). "Testing the master constraint programme for loop quantum gravity: I. General framework". Classical and Quantum Gravity. 23 (4): 1025–1066. arXiv:gr-qc/0411138. Bibcode:2006CQGra..23.1025D. doi:10.1088/0264-9381/23/4/001. S2CID 16155563.
• Dittrich, B; Thiemann, T (2006b). "Testing the master constraint programme for loop quantum gravity: II. Finite-dimensional systems". Classical and Quantum Gravity. 23 (4): 1067–1088. arXiv:gr-qc/0411139. Bibcode:2006CQGra..23.1067D. doi:10.1088/0264-9381/23/4/002. S2CID 14395043.
• Dittrich, B; Thiemann, T (2006c). "Testing the master constraint programme for loop quantum gravity: III. Models". Classical and Quantum Gravity. 23 (4): 1089–1120. arXiv:gr-qc/0411140. Bibcode:2006CQGra..23.1089D. doi:10.1088/0264-9381/23/4/003. S2CID 16944390.
• Dittrich, B; Thiemann, T (2006d). "Testing the master constraint programme for loop quantum gravity: IV. Free field theories". Classical and Quantum Gravity. 23 (4): 1121–1142. arXiv:gr-qc/0411141. Bibcode:2006CQGra..23.1121D. doi:10.1088/0264-9381/23/4/004. S2CID 16510175.
• Dittrich, B; Thiemann, T (2006e). "Testing the master constraint programme for loop quantum gravity: V. Interacting field theories". Classical and Quantum Gravity. 23 (4): 1143–1162. arXiv:gr-qc/0411142. Bibcode:2006CQGra..23.1143D. doi:10.1088/0264-9381/23/4/005. S2CID 17888279.
• Doplicher, Luisa (2004). "Generalized Tomonaga-Schwinger equation from the Hadamard formula". Physical Review D. 70 (6): 064037. arXiv:gr-qc/0405006. Bibcode:2004PhRvD..70f4037D. doi:10.1103/PhysRevD.70.064037. S2CID 14402915.
• Dreyer, O.; Markopoulou, f.; Smolin, L. (2006). "Symmetry and entropy of black hole horizons". Nuclear Physics B. 774 (1–2): 1–13. arXiv:hep-th/0409056. Bibcode:2006NuPhB.744....1D. doi:10.1016/j.nuclphysb.2006.02.045. S2CID 14282122.
• Duston, Christopher L (13 August 2013). "The Fundamental Group of a Spatial Section Represented by a Topspin Network". arXiv:1308.2934. Bibcode:2013arXiv1308.2934D.
• Engle, J.; Pereira, R.; Rovelli, C. (2009). "Loop-Quantum-Gravity Vertex Amplitude". Physical Review Letters. 99 (16): 161301. arXiv:0705.2388. Bibcode:2007PhRvL..99p1301E. doi:10.1103/physrevlett.99.161301. PMID 17995233. S2CID 27052383.
• Fairbairn, W. J.; Meusburger, C. (2011). "q-Deformation of Lorentzian spin foam models". arXiv:1112.2511 [gr-qc].
• Fernando, J.; Barbero, G. (1995a). "Reality Conditions and Ashtekar Variables: A Different Perspective". Physical Review D. 51 (10): 5498–5506. arXiv:gr-qc/9410013. Bibcode:1995PhRvD..51.5498B. doi:10.1103/PhysRevD.51.5498. PMID 10018308. S2CID 16131908.
• Fernando, J.; Barbero, G. (1995b). "Real Ashtekar Variables for Lorentzian Signature Space-times". Physical Review D. 51 (10): 5507–5520. arXiv:gr-qc/9410014. Bibcode:1995PhRvD..51.5507B. doi:10.1103/PhysRevD.51.5507. PMID 10018309. S2CID 16314220.
• Fleischhack, C. (2006). "Irreducibility of the Weyl algebra in loop quantum gravity". Physical Review Letters. 97 (6): 061302. Bibcode:2006PhRvL..97f1302F. doi:10.1103/physrevlett.97.061302. PMID 17026156.
• Freidel, L.; Krasnov, K. (2008). "A new spin foam model for 4D gravity". Classical and Quantum Gravity. 25 (12): 125018. arXiv:0708.1595. Bibcode:2008CQGra..25l5018F. doi:10.1088/0264-9381/25/12/125018. S2CID 119138842.
• Freidel, Laurent (4 April 2008). "Reconstructing AdS/CFT". arXiv:0804.0632. Bibcode:2008arXiv0804.0632F.
• Freidel, Laurent; Speziale, Simone (2010). "Twistors to twisted geometries". Physical Review D. 82 (8): 084041. arXiv:1006.0199. Bibcode:2010PhRvD..82h4041F. doi:10.1103/PhysRevD.82.084041. S2CID 119292655.
• Frodden, Ernesto; Ghosh, Amit; Perez, Alejandro (2013). "Quasilocal first law for black hole thermodynamics". Physical Review D. 87 (12): 121503. arXiv:1110.4055. Bibcode:2013PhRvD..87l1503F. doi:10.1103/PhysRevD.87.121503. S2CID 56145555.
• Gambini, R.; Pullin, J. (2011). A First Course in Loop Quantum Gravity. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-959075-9.
• Gambini, Rodolfo; Pullin, Jorge (2009). "Emergent diffeomorphism invariance in a discrete loop quantum gravity model". Classical and Quantum Gravity. 26 (3): 035002. arXiv:0807.2808. Bibcode:2009CQGra..26c5002G. doi:10.1088/0264-9381/26/3/035002. S2CID 118500639.
• Gambini, Rodolfo; Pullin, Jorge (2020). Loop Quantum Gravity for Everyone. World Scientific. doi:10.1142/11599. ISBN 978-981121195-9. S2CID 202934669.
• Giesel, K; Thiemann, T (2007a). "Algebraic quantum gravity (AQG): I. Conceptual setup". Classical and Quantum Gravity. 24 (10): 2465–2498. arXiv:gr-qc/0607099. Bibcode:2007CQGra..24.2465G. doi:10.1088/0264-9381/24/10/003. S2CID 17907375.
• Giesel, K; Thiemann, T (2007b). "Algebraic quantum gravity (AQG): II. Semiclassical analysis". Classical and Quantum Gravity. 24 (10): 2499–2564. arXiv:gr-qc/0607100. Bibcode:2007CQGra..24.2499G. doi:10.1088/0264-9381/24/10/004. S2CID 88507130.
• Giesel, K; Thiemann, T (2007c). "Algebraic quantum gravity (AQG): III. Semiclassical perturbation theory". Classical and Quantum Gravity. 24 (10): 2565–2588. arXiv:gr-qc/0607101. Bibcode:2007CQGra..24.2565G. doi:10.1088/0264-9381/24/10/005. S2CID 17728576.
• Goswami; Joshi, Pankaj S.; Singh, Parampreet; et al. (2006). "Quantum evaporation of a naked singularity". Physical Review Letters. 96 (3): 31302. arXiv:gr-qc/0506129. Bibcode:2006PhRvL..96c1302G. doi:10.1103/PhysRevLett.96.031302. PMID 16486681. S2CID 19851285.
• Han, Muxin (2010). "A path integral for the master constraint of loop quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 27 (21): 215009. arXiv:0911.3432. Bibcode:2010CQGra..27u5009H. doi:10.1088/0264-9381/27/21/215009. S2CID 118610209.
• Han, Muxin; Thiemann, T (2010a). "On the relation between operator constraint, master constraint, reduced phase space and path integral quantization". Classical and Quantum Gravity. 27 (22): 225019. arXiv:0911.3428. Bibcode:2010CQGra..27v5019H. doi:10.1088/0264-9381/27/22/225019. S2CID 119262615.
• Han, Muxin; Thiemann, Thomas (2010b). "On the relation between rigging inner product and master constraint direct integral decomposition". Journal of Mathematical Physics. 51 (9): 092501. arXiv:0911.3431. Bibcode:2010JMP....51i2501H. doi:10.1063/1.3486359. S2CID 115176353.
• Jammer, M. (1989). The Conceptual Development of Quantum Mechanics (2nd ed.). Tomash Publishers. Section 3.2. ISBN 978-0-88318-617-6.
• Kauffman, S.; Smolin, L. (7 April 1997). "A Possible Solution For The Problem Of Time In Quantum Cosmology". Edge.org. Archived from the original on 1 January 2019. Retrieved 20 August 2014.
• Kribs, D. W.; Markopoulou, F. (11 October 2005). "Geometry from quantum particles". arXiv:gr-qc/0510052.
• Lewandowski, J.; Okołów, A.; Sahlmann, H.; Thiemann, T. (2006). "Uniqueness of Diffeomorphism Invariant States on Holonomy-Flux Algebras". Communications in Mathematical Physics. 267 (3): 703–733. arXiv:gr-qc/0504147. Bibcode:2006CMaPh.267..703L. doi:10.1007/s00220-006-0100-7. S2CID 14866220.
• Livine, E.; Speziale, S. (2008). "Consistently Solving the Simplicity Constraints for Spinfoam Quantum Gravity". EPL. 81 (5): 50004. arXiv:0708.1915. Bibcode:2008EL.....8150004L. doi:10.1209/0295-5075/81/50004. S2CID 119718476.
• Majumdar, Parthasarathi (1998). "Black Hole Entropy and Quantum Gravity". Indian J. Phys. 73 (2): 147. arXiv:gr-qc/9807045. Bibcode:1999InJPB..73..147M.
• Modesto, Leonardo; Rovelli, Carlo (2005). "Particle Scattering in Loop Quantum Gravity". Physical Review Letters. 95 (19): 191301. arXiv:gr-qc/0502036. Bibcode:2005PhRvL..95s1301M. doi:10.1103/PhysRevLett.95.191301. PMID 16383970. S2CID 46705469.
• Muxin, H. (2011). "Cosmological constant in loop quantum gravity vertex amplitude". Physical Review D. 84 (6): 064010. arXiv:1105.2212. Bibcode:2011PhRvD..84f4010H. doi:10.1103/PhysRevD.84.064010. S2CID 119144559.
• Nicolai, Hermann; Peeters, Kasper; Zamaklar, Marija (2005). "Loop quantum gravity: an outside view". Classical and Quantum Gravity. 22 (19): R193–R247. arXiv:hep-th/0501114. Bibcode:2005CQGra..22R.193N. doi:10.1088/0264-9381/22/19/R01. S2CID 14106366.
• Oeckl, Robert (2003a). "A "general boundary" formulation for quantum mechanics and quantum gravity". Physics Letters B. 575 (3–4): 318–324. arXiv:hep-th/0306025. Bibcode:2003PhLB..575..318O. doi:10.1016/j.physletb.2003.08.043. S2CID 119485193.
• Oeckl, Robert (2003b). "Schrödinger's cat and the clock: Lessons for quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 20 (24): 5371–5380. arXiv:gr-qc/0306007. Bibcode:2003CQGra..20.5371O. doi:10.1088/0264-9381/20/24/009. S2CID 118978523.
• "Renate Loll". Perimeter Institute for Theoretical Physics. Retrieved 4 November 2016.
• Rovelli, C. (2004). Quantum Gravity. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. pp. 13ff. ISBN 978-0-521-83733-0.
• Rovelli, C. (2011). "Zakopane lectures on loop gravity". arXiv:1102.3660 [gr-qc].
• Rovelli, C.; Alesci, E. (2007). "The complete LQG propagator I. Difficulties with the Barrett–Crane vertex". Physical Review D. 76 (2): 104012. arXiv:hep-th/0703074. Bibcode:2007PhRvD..76b4012B. doi:10.1103/PhysRevD.76.024012. S2CID 37197672.
• Rovelli, C.; Smolin, L. (1988). "Knot Theory and Quantum Gravity". Physical Review Letters. 61 (10): 1155–1158. Bibcode:1988PhRvL..61.1155R. doi:10.1103/PhysRevLett.61.1155. PMID 10038716.
• Rovelli, Carlo (1996). "Black Hole Entropy from Loop Quantum Gravity". Physical Review Letters. 77 (16): 3288–3291. arXiv:gr-qc/9603063. Bibcode:1996PhRvL..77.3288R. doi:10.1103/PhysRevLett.77.3288. PMID 10062183. S2CID 43493308.
• Rovelli, Carlo (2003). "A Dialog on Quantum Gravity". International Journal of Modern Physics D. 12 (9): 1509–1528. arXiv:hep-th/0310077. Bibcode:2003IJMPD..12.1509R. doi:10.1142/S0218271803004304. S2CID 119406493.
• Rovelli, Carlo (August 2008). "Loop Quantum Gravity" (PDF). Living Reviews in Relativity. 11 (1): 5. Bibcode:2008LRR....11....5R. doi:10.12942/lrr-2008-5. PMC 5256093. PMID 28179822. Retrieved 14 September 2014.
• Rovelli, Carlo; Vidotto, Francesca (2014). "Planck stars". International Journal of Modern Physics D. 23 (12): 1442026. arXiv:1401.6562. Bibcode:2014IJMPD..2342026R. doi:10.1142/S0218271814420267. S2CID 118917980.
• Smolin, L. (2006). "The Case for Background Independence". In Rickles, D.; French, S.; Saatsi, J. T. (eds.). The Structural Foundations of Quantum Gravity. انتشارات کلارندون. pp. 196ff. arXiv:hep-th/0507235. Bibcode:2005hep.th....7235S. ISBN 978-0-19-926969-3.
• Smolin, Lee (20 January 2010). "Newtonian gravity in loop quantum gravity". arXiv:1001.3668. Bibcode:2010arXiv1001.3668S.
• Speziale, Simone; Wieland, Wolfgang (2012). "The twistorial structure of loop-gravity transition amplitudes". Physical Review D. 86 (12): 124023. arXiv:1207.6348. Bibcode:2012PhRvD..86l4023S. doi:10.1103/PhysRevD.86.124023. S2CID 59406729.
• Thiemann, Thomas (1996). "Anomaly-free formulation of non-perturbative, four-dimensional Lorentzian quantum gravity". Physics Letters B. 380 (3–4): 257–264. arXiv:gr-qc/9606088. Bibcode:1996PhLB..380..257T. doi:10.1016/0370-2693(96)00532-1. S2CID 8691449.
• Thiemann, Thomas (2003). "Lectures on Loop Quantum Gravity". Quantum Gravity. Lecture Notes in Physics. Vol. 631. pp. 41–135. arXiv:gr-qc/0210094. Bibcode:2003LNP...631...41T. doi:10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID 119151491.
• Thiemann, Thomas (2006a). "The Phoenix Project: Master constraint programme for loop quantum gravity". Classical and Quantum Gravity. 23 (7): 2211–2247. arXiv:gr-qc/0305080. Bibcode:2006CQGra..23.2211T. doi:10.1088/0264-9381/23/7/002. S2CID 16304158.
• Thiemann, Thomas (2006b). "Quantum spin dynamics: VIII. The master constraint". Classical and Quantum Gravity. 23 (7): 2249–2265. arXiv:gr-qc/0510011. Bibcode:2006CQGra..23.2249T. doi:10.1088/0264-9381/23/7/003. S2CID 29095312.
• Thiemann, Thomas (2008). Modern Canonical General Relativity. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. Section 10.6. ISBN 978-0-521-74187-3.
• Tipler, P.; Llewellyn, R. (2008). Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman and Co. pp. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.