انتگرال حجمی

انتگرال حجمی(به انگلیسی: Volume integral) در ریاضیات - به‌ویژه، در حساب دیفرانسیل و انتگرال چند متغیره - اشاره به انتگرال بر روی یک دامنه سه‌بعدی دارد و به شکل زیر تعریف می‌شود:^[۱]

${\displaystyle \operatorname {Vol} (D)=\iiint \limits _{D}dx\,dy\,dz.}$

همچنین می‌توان این انتگرال را به صورت یک انتگرال سه‌گانه با محدوده D در دامنه اعداد حقیقی سه‌بعدی R³ برای تابع ${\displaystyle f(x,y,z),}$ نوشت:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

همچنین برای دستگاه مختصات استوانه‌ای داریم:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz,}$

و برای دستگاه مختصات کروی داریم:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(\rho ,\theta ,\phi )\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}$

مثال

انتگرال تابع ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ روی مکعب واحد نتیجه زیر را می‌دهد:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}(1-0)dz=1-0=1}$

منابع

1. Weisstein, Eric W. "Volume integral". MathWorld.