ترانهاد مزدوج

در ریاضیات، ترانهادِ همیوغ^[۱] یا ترانهادِ هرمیتی یک ماتریس m در n (ماتریس A) با درایه‌های همتافت (مختلط)، ماتریسی است n در m (ماتریس ${\displaystyle A^{*}}$) که از ترانهادن و همیوغیدن هر کدام از درایه‌هایش ساخته‌می‌شود. ترانهاد همیوغ را به شیوه ریاضی اینگونه تعریف می‌کنند:^[۲] ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{*})_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}}$

این تعریف اینگونه نیز می‌تواند گفته‌شود: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}=({\overline {\boldsymbol {A}}})^{\mathrm {T} }={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}}}$

که در آن ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,\!}$ نشانگر ترانهاده و ${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {A}}}\,\!}$ نشانگر همیوغِ همتافت است. در رشته‌های فیزیک به ویژه فیزیکِ کوانتومی، ترانهادِ همیوغ یا ترانهاد هرمیتی را با نشانهٔ خنجر ${\displaystyle A^{\dagger }}$ نشان می‌دهند؛ و نشانه ستاره ${\displaystyle A^{*}}$ تنها برای نشان دادن همیوغِ همتافت است.

نمونه

اگر

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i\\1+i&i\end{bmatrix}}}$

سپس ترانهادِ همیوغ آن می‌شود:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\end{bmatrix}}}$

چند نکته پایه‌ای

ماتریس مربعی A با درایه‌های ${\displaystyle a_{ij}}$:

• ماتریس هرمیتی یا خودآبن (self-adjoint) است اگر A = A^∗ یعنی ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$.
• پادهرمیتی (antihermitian) است اگر A = −A^∗ یا ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$.
• هنجارمند (Normal) است اگر A^∗A = AA^∗.
• یکانی است اگر A^∗ = A⁻¹

منابع

1. «نسخه آرشیو شده». بایگانی‌شده از اصلی در ۴ دسامبر ۲۰۱۴. دریافت‌شده در ۲۴ سپتامبر ۲۰۱۶.
2. http://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html