ترکیب آفین

ترکیب آفین از x₁, … , x_n x₁, … , x_n در ریاضیات، یک ترکیب خطی است:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n},}$

به گونه ای که:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.}$

در اینجا، x₁, … , x_n می‌تواند عناصر (بردار) یک فضای برداری روی یک میدان K و ضرایب ${\displaystyle \alpha _{i}}$، عناصر K هستند.

هم چنین عناصر x₁, … , x_n x₁, … , x_n می‌تواند نقاط یک فضای اقلیدسی و به‌طور کلی تر، از یک فضای آفین روی یک میدان K باشد. در این مورد، ${\displaystyle \alpha _{i}}$‌ها عناصر K (یا ${\displaystyle \mathbb {R} }$ برای فضای اقلیدسی) و ترکیب افین نیز یک نقطه است.

این مفهوم در هندسه اقلیدسی و هندسه آفین بنیادی است، زیرا مجموعه همه ترکیب‌های همبستهٔ مجموعه‌ای از نقاط، کوچک‌ترین فضای پیوندی حاوی نقاط را تشکیل می‌دهند؛ دقیقاً همان‌طور که ترکیب‌های خطی، مجموعه‌ای از بردارها پوشش خطی آن‌ها را تشکیل می‌دهند.

ترکیب‌های افین با هر تبدیل آفین T به این معنا جابه‌جا می‌شوند که:

${\displaystyle T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot Tx_{i}}.}$

به‌طور خاص، هر ترکیبی از نقاط ثابت یک تبدیل آفین معین ${\displaystyle T}$ همزمان یک نقطه ثابت از ${\displaystyle T}$ می‌باشد؛ بنابراین مجموعه نقاط ثابت از ${\displaystyle T}$ یک فضای آفین را تشکیل می‌دهد (در فضای سه بعدی: یک خط یا یک صفحه، یک نقطه یا کل فضا).

هنگامی که یک ماتریس تصادفی A، روی یک بردار ستونی، b→ عمل می‌کند، نتیجه آن یک بردار آفین است که ورودی‌های آن ترکیبی از b→ با ضرایبی از ردیف‌های A هستند.

جستارهای وابسته

ترکیبات مرتبط

• ترکیب محدب
• ترکیب مخروطی
• ترکیب خطی

هندسه افین

• فضای Affine
• هندسه افین
• بدنه آفین

منابع

• Gallier, Jean (2001), Geometric Methods and Applications, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95044-0. See chapter 2.

پیوند به بیرون

• یادداشت‌هایی در مورد ترکیب‌های افین.