جدول معادلات ترمودینامیکی

در فهرست زیر معادلات متداول و پر کاربرد ترمودینامیک آورده شده‌است:

تعاریف

مقالات اصلی: فهرست خواص ترمودینامیکی، پتانسیل ترمودینامیکی، آنتروپی آزاد، تعریف معادلات (شیمی‌فیزیک)

بسیاری از تعاریف زیر، در ترمودینامیک واکنش‌های شیمیایی نیز استفاده شده‌اند.

کمیت‌های پایه‌ای عمومی

کمیت (نام رایج)	نماد (رایج)	یکای SI	بعد
تعداد مولکول‌ها	N	بدون بعد	بدون بعد
تعداد مول‌ها	n	mol	[N]
دما	T	K	[Θ]
گرما	Q, q	J	${\displaystyle [M][L]^{2}[T]^{-2}}$
گرمای نهان	${\displaystyle Q_{L}}$	J	${\displaystyle [M][L]^{2}[T]^{-2}}$

متغیرها

مقالهٔ اصلی: فهرست خواص ترمودینامیکی

متغیرهای مزدوج p فشار V حجم (ترمودینامیک) T دما S انتروپی μ پتانسیل شیمیایی N تعداد ذره پتانسیل ترمودینامیکی U انرژی درونی A انرژی آزاد هلمولتز H آنتالپی G انرژی آزاد گیبس

خواص مواد ρ چگالی CV ظرفیت گرمایی (حجم ثابت) CP ظرفیت گرمایی (فشار ثابت) βT Isothermal ضریب تراکم‌پذیری همدما βS Adiabatic ضریب تراکم‌پذیری همدما α ضریب انبساط گرمایی ثابت‌ها kB ثابت بولتزمن R ثابت عمومی گازها

متغیرهای متداول ${\displaystyle W}$ کار انجام شوده به وسیلهٔ سیستم بر روی محیط ${\displaystyle Q}$ گرما انتقال یافته از محیط به سیستم δw Infinitesimal amount of Work δq Infinitesimal amount of Heat

معادله‌ها

آنتروپی

• ${\displaystyle ~S=k_{B}(\ln \Omega )~}$، where ${\displaystyle k_{B}}$ is the ثابت بولتزمن، and ${\displaystyle \Omega }$ denotes the volume of ریزحالت in the فضای فاز.
• ${\displaystyle ~dS={\frac {\delta Q}{T}}~}$، برای سیستم برگشت‌پذیر

خواص کوانتومی

• ${\displaystyle ~U=Nk_{B}T^{2}\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial T}}\right)_{V}~}$
• ${\displaystyle ~S={\frac {U}{T}}+N*~S={\frac {U}{T}}+Nk_{B}\ln Z-Nk\ln N+Nk~}$ Indistinguishable Particles

where N is number of particles, Z is the partition function, h is ثابت پلانک، I is ممان اینرسی، Z_t is Z_translation, Z_v is Z_vibration, Z_r is Z_rotation

• ${\displaystyle ~Z_{t}={\frac {(2\pi mk_{B}T)^{\frac {3}{2}}V}{h^{3}}}~}$
• ${\displaystyle ~Z_{v}={\frac {1}{1-e^{\frac {-h\omega }{2\pi k_{B}T}}}}~}$
• ${\displaystyle ~Z_{r}={\frac {2Ik_{B}T}{\sigma ({\frac {h}{2\pi }})^{2}}}~}$

where:

• ${\displaystyle ~\sigma =1~}$، مولکول ناجورهسته
• ${\displaystyle ~\sigma =2~}$، مولکول جورهسته

فرایند شبه‌تعادلی و فرایند برگشت‌پذیر

• ${\displaystyle ~dQ=C_{p}dT+l_{v}d_{v}=dU+PdV=TdS~}$

ظرفیت گرمایی در فشار ثابت

• ${\displaystyle ~C_{p}=\left({\partial Q_{rev} \over \partial T}\right)_{p}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{p}+p\left({\partial V \over \partial T}\right)_{p}=\left({\partial H \over \partial T}\right)_{p}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{p}~}$

ظرفیت گرمایی در حجم ثابت

• ${\displaystyle ~C_{V}=\left({\partial Q_{rev} \over \partial T}\right)_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V}~}$

پتانسیل ترمودینامیکی و مفاهیم مرتبط

نام	نماد	فرمول	متغیرهای طبیعی
انرژی درونی	${\displaystyle U}$	${\displaystyle \int (TdS-pdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i})}$	${\displaystyle S,V,\{N_{i}\}}$
انرژی آزاد هلمولتز	${\displaystyle F}$	${\displaystyle U-TS}$	${\displaystyle T,V,\{N_{i}\}}$
آنتالپی	${\displaystyle H}$	${\displaystyle U+pV}$	${\displaystyle S,p,\{N_{i}\}}$
انرژی آزاد گیبس	${\displaystyle G}$	${\displaystyle U+pV-TS}$	${\displaystyle T,p,\{N_{i}\}}$
پتانسیل لاندو (پتانسیل بزرگ)	${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \Phi _{G}}$	${\displaystyle U-TS-}$${\displaystyle \sum _{i}\,}$${\displaystyle \mu _{i}N_{i}}$	${\displaystyle T,V,\{\mu _{i}\}}$

See also:

• روابط ماکسول
• روابط اساسی ترمودینامیک

ضریب تراکم‌پذیری همدما at constant temperature

• ${\displaystyle ~K_{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial p}\right)_{T,N}~}$

برخی روابط دیگر

• ${\displaystyle ~\left({\partial S \over \partial U}\right)_{V,N}={1 \over T}~}$
• ${\displaystyle ~\left({\partial S \over \partial V}\right)_{N,U}={p \over T}~}$
• ${\displaystyle ~\left({\partial S \over \partial N}\right)_{V,U}=-{\mu \over T}~}$
• ${\displaystyle ~\left({\partial T \over \partial S}\right)_{V}={T \over C_{V}}~}$
• ${\displaystyle ~\left({\partial T \over \partial S}\right)_{p}={T \over C_{p}}~}$
• ${\displaystyle ~-\left({\partial p \over \partial V}\right)_{T}={1 \over {VK_{T}}}~}$

جدول معادلات برای گاز ایده‌آل

Quantity	General Equation	Isobaric Δp = ۰	Isochoric ΔV = ۰	Isothermal ΔT = ۰	Adiabatic ${\displaystyle Q=0}$
کار ${\displaystyle W}$	${\displaystyle \delta W=pdV\;}$	${\displaystyle p\Delta V\;}$-	${\displaystyle 0\;}$	${\displaystyle nRT\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\;}$	${\displaystyle {\frac {PV^{\gamma }(V_{f}^{1-\gamma }-V_{i}^{1-\gamma })}{1-\gamma }}}$[۱] = ${\displaystyle C_{V}\left(T_{1}-T_{2}\right)}$
ظرفیت گرمایی C	(as for real gas)	${\displaystyle C_{p}={\frac {5}{2}}nR\;}$ (for monatomic ideal gas)	${\displaystyle C_{V}={\frac {3}{2}}nR\;}$ (for monatomic ideal gas)
انرژی درونی ΔU	${\displaystyle \Delta U=C_{v}\Delta T\;}$	${\displaystyle Q+W\;}$ ${\displaystyle Q_{p}-p\Delta V\;}$	${\displaystyle Q\;}$ ${\displaystyle C_{V}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}$	${\displaystyle 0\;}$ ${\displaystyle Q=W\;}$	${\displaystyle -W\;}$ ${\displaystyle C_{V}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}$
آنتالپی ΔH	${\displaystyle H=U+pV\;}$	${\displaystyle C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}$	${\displaystyle Q_{V}+V\Delta p\;}$	${\displaystyle 0\;}$	${\displaystyle C_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)\;}$
آنتروپی ΔS	${\displaystyle \Delta S=C_{v}\ln {T_{2} \over T_{1}}+R\ln {V_{2} \over V_{1}}}$ ${\displaystyle \Delta S=C_{p}\ln {T_{2} \over T_{1}}-R\ln {p_{2} \over p_{1}}}$[۲]	${\displaystyle C_{p}\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\;}$	${\displaystyle C_{V}\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\;}$	${\displaystyle nR\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\;}$ ${\displaystyle {\frac {Q}{T}}\;}$	${\displaystyle C_{p}\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}+C_{V}\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=0\;}$
Constant	${\displaystyle \;}$	${\displaystyle {\frac {V}{T}}\;}$	${\displaystyle {\frac {p}{T}}\;}$	${\displaystyle pV\;}$	${\displaystyle pV^{\gamma }\;}$

دیگر معادلات سودمند

• ${\displaystyle \Delta U=Q-W=Q-\int p_{ext}dV=Q-p_{ext}\Delta V}$
• ${\displaystyle H=U+pV\,\!}$
• ${\displaystyle A=U-TS\,\!}$
• ${\displaystyle G=H-TS=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}\,\!}$
• ${\displaystyle dU\left(S,V,{n_{i}}\right)=TdS-pdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}$
• ${\displaystyle dH\left(S,p,n_{i}\right)=TdS+Vdp+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}$
• ${\displaystyle dA\left(T,V,n_{i}\right)=-SdT-pdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}$
• ${\displaystyle dG\left(T,p,n_{i}\right)=-SdT+Vdp+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}}$
• ${\displaystyle \mu _{JT}=\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}}$
• ${\displaystyle \kappa _{T}=-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}}$
• ${\displaystyle \alpha _{p}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}$
• ${\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}=V-T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}$
• ${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}$
• ${\displaystyle H=-T^{2}\left({\frac {\partial \left(G/T\right)}{\partial T}}\right)_{p}}$
• ${\displaystyle U=-T^{2}\left({\frac {\partial \left(A/T\right)}{\partial T}}\right)_{V}}$

برهان ۱

نمونه ای از کاربرد روش بالا:

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-{\frac {1}{C_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}\left({\frac {\partial p}{\partial H}}\right)_{T}\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}\left({\frac {\partial T}{\partial H}}\right)_{p}}$

${\displaystyle ={\frac {-1}{\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}$ ; ${\displaystyle C_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}}$

${\displaystyle \Rightarrow \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{H}=-{\frac {1}{C_{p}}}\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{T}}$

برهان ۲

نمونه‌های دیگر:

${\displaystyle C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}$

${\displaystyle '''U=Q-W\,\!'''}$

${\displaystyle dU=\delta Q_{rev}-\delta W_{rev};dS={\frac {\delta Q_{rev}}{T}},\delta W_{rev}=pdV\,\!}$

${\displaystyle =TdS-pdV\,\!}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}-p\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{V};C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}$

${\displaystyle \Rightarrow C_{V}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}}$

جستارهای وابسته

• معادله آنتوان
• عدد بیجان
• Bowen ratio
• Bridgman's equations
• معادله کلازیوس-کلاپیرون
• Departure functions
• Duhem–Margules equation
• Ehrenfest equations
• Gibbs–Helmholtz equation
• قانون فازی گیبس
• Kopp's law
• Kopp–Neumann law
• Noro–Frenkel law of corresponding states
• Onsager reciprocal relations
• عدد استفان
• Triple product rule

منابع

1. Adiabatic Processes
2. Keenan, Thermodynamics, Wiley, New York, 1947

• Atkins, Peter and de Paula, Julio Physical Chemistry, 7th edition, W.H. Freeman and Company, 2002 ISBN 0-7167-3539-3].
  • Chapters 1 - 10, Part 1: Equilibrium.
• Bridgman, P.W. , Phys. Rev., 3, 273 (1914).
• Landsberg, Peter T. Thermodynamics and Statistical Mechanics. New York: Dover Publications, Inc. , 1990. (reprinted from Oxford University Press, 1978).
• Lewis, G.N. , and Randall, M. , "Thermodynamics", 2nd Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1961.
• Reichl, L.E. , "A Modern Course in Statistical Physics", 2nd edition, New York: John Wiley & Sons, 1998.
• Schroeder, Daniel V. Thermal Physics. San Francisco: Addison Wesley Longman, 2000 ISBN 0-201-38027-7].
• Silbey, Robert J. , et al. Physical Chemistry. 4th ed. New Jersey: Wiley, 2004.
• Callen, Herbert B. (1985). "Thermodynamics and an Introduction to Themostatistics", 2nd Ed. , New York: John Wiley & Sons.