عدد اول رامانوجان

در ریاضیات عدد اول رامانوجان عدد اولی است که نتیجه ثابت شده توسط سرینیسوا رامانوجان مربوط به تابع شمارش اعداد اول را ارضا می‌کند.

ریشه و تعریف

در سال ۱۹۱۹ رامانوجان اثبات جدیدی از اصل برتراند را منتشر کرد است که همان‌طور که او گفته برای اولین بار توسط چبیشف اثبات شده‌است.^[۱] در پایان دو صفحه منتشر شده، رامانوجان یک نتیجه تعمیم یافته را استنتاج می‌کند و آن این است:

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq 1,2,3,4,5,\ldots {\text{ for all }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ respectively}}}$ A104272

که در آن ${\displaystyle \pi (x)}$ تابع شمارش اعداد اول است که برابر است با تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی x.

تعریف اعداد اول رامانوجان این است:

n امین عدد اول رامانوجان کوچکترین عدد صحیحی است (R_n) که در معادله زیر صدق می‌کند:

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n}$ برای همه x ≥ R_n^[۲]

به عبارت دیگر اعداد اول رامانوجان اعداد صحیحی هستند که به ازای هر کدام از آن‌ها حداقل n عدد اول بین x و x/2 وجود دارد جایی که x ≥ R_n

پنج عدد اول رامانوجان عبارت اند از ۲، ۱۱، ۱۷، ۲۹، و ۴۱.

منابع

1. Ramanujan, S. (1919), "A proof of Bertrand's postulate", Journal of the Indian Mathematical Society, 11: 181–182
2. Jonathan Sondow. "Ramanujan Prime". MathWorld.