قانون روفینی

پائولو روفینی

قانون روفینی در ریاضیات عبارت است از روشی کاربردی در تقسیم یک چندجمله‌ای بر یک دوجمله‌ای به شکل x-r. این قانون نخستین بار از سوی پائولو روفینی در ۱۸۰۴ پیشنهاد شد. قانون روفینی حالت خاصی از تقسیم ترکیبی (Synthetic division) برای وقتی است که تقسیم‌کننده خطی باشد.^[۱]

روش

این قانون راهی برای تقسیم یک چندجمله‌ای مانند

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

بر یک دوجمله‌ای مانند

${\displaystyle Q(x)=x-r}$

پیشنهاد می‌دهد تا خارج قسمتی چند جمله ای به شکل زیر بدست آید:

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$

برای تقسیم P(x) بر Q(x) باید:

1. ضرایب P(x) را به ترتیب در جدولی بنویسید سپس r را در سمت چپ کمی پایین تر اما بالای خط بنویسید:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}$

2. ضریب انتهایی در سمت چپ (a_n) را زیر خط بنویسید.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

3. عدد آخر زیر خط را در r ضرب کنید و بالای خط و در خانهٔ کناری بنویسید.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}$

4. دو مقدار موجود در یک خانه را با هم جمع کنید و در همان ستون زیر خط بنویسید.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}$

5. گام‌های سه و چهار را آنقدر تکرار کنید تا هیچ عددی باقی نماند.

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}}$

مقادیر b ضرایب چندجمله ای حاصل (R(x)) اند که درجه اش یک درجه از P(x) کمتر است.

منابع

1. Cajori, Florian (1911). "Horner's method of approximation anticipated by Ruffini" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 17 (8): 389–444. doi:10.1090/s0002-9904-1911-02072-9.