قضیه مقدار کرانی

یک تابع پیوسته ${\displaystyle f(x)}$ در بازهٔ بستهٔ ${\displaystyle [a,b]}$ که در آن حداکثر مطلق (قرمز) و حداقل مطلق (آبی) نشان داده شده‌است.

در حسابان، قضیهٔ مقدار کرانی یا قضیهٔ مقدار فرین بیان می‌کند که اگر یک تابع با مقادیر حقیقی ${\displaystyle f}$ در بازهٔ بسته و ناتهی ${\displaystyle [a,b]}$، پیوسته باشد، این تابع، یعنی ${\displaystyle f}$، اقلاً یکبار به مقادیر حداکثر و حداقل دست می‌یابد؛ یعنی در بازهٔ ${\displaystyle [a,b]}$، اعدادی مانند ${\displaystyle c}$ و ${\displaystyle d}$ هستند به طوری که:

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad \forall x\in [a,b]}$

قضیه مقدار کرانی از قضیهٔ کرانه‌داری گویاتر است. این قضیه صرفاً بیان می‌کند که یک تابع پیوسته ${\displaystyle f}$ در بازهٔ بسته ${\displaystyle [a,b]}$ تابعی کران‌دار است؛ یعنی اعداد حقیقی همچون ${\displaystyle m}$ و ${\displaystyle M}$ وجود دارد به طوری که:

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b]}$ .

چنین قضیه‌ای نمی‌گوید ${\displaystyle M}$ و ${\displaystyle m}$ لزوماً مقادیر حداکثر و حداقل ${\displaystyle f}$ در فاصله ${\displaystyle [a,b],}$ هستند؛ که این همان چیزی است که قضیه مقدار کرانی تصریح می‌کند، باید باشد.

توابعی که قضیه در مورد آن‌ها صدق نمی‌کند

مثال‌های زیر نشان می‌دهند که چرا دامنه تابع باید بسته و محدود باشد تا قضیه اعمال شود. هر کدام از آن‌ها در بازهٔ مشخص شده به حداکثر نمی‌رسند.

1. ${\displaystyle f(x)=x}$ تعریف شده‌است ${\displaystyle [0,\infty )}$ از بالا کران‌دار نمی‌شود.
2. ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$ تعریف شده‌است ${\displaystyle [0,\infty )}$ کران‌دار است اما به حداقل حد بالایی خود ${\displaystyle 1}$ نمی‌رسد.
3. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ تعریف شده‌است ${\displaystyle (0,1]}$ از بالا کران‌دار نمی‌شود.
4. ${\displaystyle f(x)=1-x}$ تعریف شده‌است ${\displaystyle (0,1]}$ کران‌دار است اما هرگز به حداقل حد بالایی خود ${\displaystyle 1}$ نمی‌رسد.

تعیین ${\displaystyle f(0)=0}$ در دو مثال آخر نشان می‌دهد که هر دو قضیه نیاز به پیوستگی در ${\displaystyle [a,b]}$ دارند.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Extreme Value Theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

جستارهای خارجی

• اثباتی برای قضیهٔ مقادیر کرانی در زمان قطع
• قضیه مقدار کرانی توسط ژاکلین واندزورا با مشارکت‌های اضافی توسط استفان واندزورا، نمایش‌های پروژه ولفرام.
• Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem". MathWorld.
• اثبات سیستم Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15