قضیه هارتمن-گروبمن

در ریاضیات، در مطالعه سیستم‌های دینامیکی، قضیه هارتمن-گروبمن یا قضیه خطی‌سازی یک قضیه دربارهٔ رفتار موضعی سامانه‌های دینامیکی در همسایگی یک نقطه تعادل هذلولی‌وار است. این قضیه ادعا می‌کند که خطی‌سازی - ساده‌سازی طبیعی سیستم - در پیش‌بینی الگوهای کیفی رفتار مؤثر است. این قضیه نام خود را مدیون فیلیپ هارتمن و دیوید ام گروبمن می‌باشد.

قضیه اصلی

سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ در حال تحول است، به طوری که معادله دیفرانسیل ${\displaystyle du/dt=f(u)}$ را برای برخی از نگاشت‌های هموار ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ارضا می‌کند. فرض کنید نگاشت حالت تعادلی هذلولی‌وار ${\displaystyle u^{*}\in \mathbb {R} ^{n}}$ دارد: به این معنا که، ${\displaystyle f(u^{*})=0}$ و ماتریس ژاکوبی ${\displaystyle A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]}$ از ${\displaystyle f}$ در حالت ${\displaystyle u^{*}}$ هیچ مقدارویژه‌ای با قسمت حقیقی برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی ${\displaystyle N}$ از تعادل ${\displaystyle u^{*}}$ و یک همسان‌ریختی ${\displaystyle h:N\to \mathbb {R} ^{n}}$ وجود دارد، به طوری که ${\displaystyle h(u^{*})=0}$ و همچنین شار ${\displaystyle du/dt=f(u)}$ در همسایگی ${\displaystyle N}$ از طریق نگاشت پیوسته ${\displaystyle U=h(u)}$ با شار خطی‌سازی آن ${\displaystyle dU/dt=AU}$، مزدوج توپولوژیکی است.^{[۱][۲][۳][۴]}

حتی برای نگاشت‌های بی‌نهایت مشتق‌پذیر ${\displaystyle f}$ ، همسان‌ریختی ${\displaystyle h}$ لازم نیست که هموار باشد، و نه حتی به صورت محلی لیپ‌شیتس. با این حال، به نظر می‌رسد پیوسته هولدر است، و یک توان وابسته به ثابت هذلولی‌وار ${\displaystyle A}$ .^[۵]

قضیه هارتمن - گروبمن به فضاهای نامتناهی باناخ، سیستم‌های ناخودگرد (به انگلیسی: non-autonomous) ${\displaystyle du/dt=f(u,t)}$ (به‌طور بالقوه تصادفی) تعمیم یافته‌است، و بدین‌ترتیب تفاوت‌های توپولوژیکی که در حالت‌های مربوط به مقادیر ویژه صفر و نزدیک به صفر ایجاد می‌گردند نیز قابل تشخیص خواهند بود.^{[۶][۷][۸][۹]}

مثال

سیستم دو بعدی را با متغیرهای در حال تحول ${\displaystyle u=(y,z)}$ در نظر بگیرید. با توجه به جفت معادلات دیفرانسیل تزویج‌شده (به انگلیسی: coupled) است

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-3y+yz\quad }$ و ${\displaystyle \quad {\frac {dz}{dt}}=z+y^{2}}$

با محاسبه مستقیم می‌توان دریافت که تنها تعادل این سیستم در مبدأ، یعنی ${\displaystyle u^{*}=0}$ قرار دارد. تبدیل مختصات، ${\displaystyle u=h^{-1}(U)}$ که ${\displaystyle U=(Y,Z)}$، به این صورت است:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&\approx Y+YZ+{\dfrac {1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\approx Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{aligned}}}$

نگاشت فوق، نگاشتی بین مختصات اصلی ${\displaystyle u=(y,z)}$ و مختصات جدید ${\displaystyle U=(Y,Z)}$ است که دست کم در نزدیکی نقطه تعادل واقع در مبدأ هموار می‌باشد. در مختصات جدید سیستم دینامیکی به حالت خطی‌شدگی خود تبدیل می‌گردد:

${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}=-3Y\quad }$ و ${\displaystyle \quad {\frac {dZ}{dt}}=Z}$

یعنی یک نسخه اعوجاج یافته از حالت خطی‌شده، دینامیک اصلی را در یک همسایگی متناهی تولید می‌نماید.

جستارهای وابسته

• قضیه منیفلد پایدار

منابع

1. Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 128: 880–881.
2. Hartman, Philip (August 1960). "A lemma in the theory of structural stability of differential equations". Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. doi:10.2307/2034720. JSTOR 2034720.
3. Hartman, Philip (1960). "On local homeomorphisms of Euclidean spaces". Bol. Soc. Math. Mexicana. 5: 220–241.
4. Chicone, C. (2006). Ordinary Differential Equations with Applications. Texts in Applied Mathematics. Vol. 34 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.
5. Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "On the Grobman–Hartman theorem in α-Hölder class for Banach spaces" (PDF).
6. Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". In Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems. Singapore: World Scientific. pp. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.
7. Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Invariant Foliations for Carathéodory Type Differential Equations in Banach Spaces". In Lakshmikantham, V.; Martynyuk, A. A. (eds.). Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century. Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229. ISBN 978-0-415-26962-9.
8. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "The Hartman–Grobman theorem for Caratheodory-type differential equations in Banach spaces". Non-linear Analysis. 40 (1–8): 91–104. doi:10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
9. Roberts, A. J. (2008). "Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems". Physica A. 387 (1): 12–38. arXiv:math/0701623. Bibcode:2008PhyA..387...12R. doi:10.1016/j.physa.2007.08.023.

مطالعه بیشتر

• Irwin, Michael C. (2001). "Linearization". Smooth Dynamical Systems. World Scientific. pp. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
• Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (Third ed.). New York: Springer. pp. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
• Robinson, Clark (1995). Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Boca Raton: CRC Press. pp. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.

پیوند به بیرون

• Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino, P. (February 2007). "Hartman–Grobman Theorems along Hyperbolic Stationary Trajectories" (PDF). Discrete and Continuous Dynamical Systems. 17 (2): 281–292. doi:10.3934/dcds.2007.17.281. Archived from the original (PDF) on 2007-07-24. Retrieved 2007-03-09.
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• "The Most Addictive Theorem in Applied Mathematics". Scientific American.