ماتریس یک‌ها

در ریاضیات، ماتریس یک‌ها ماتریسی است که در آن همه‌ی درایه‌ها برابر با عدد یک است. ^[۱] مثال‌هایی از اینگونه ماتریس‌ها :

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

ویژگی‌ها

${\displaystyle J_{n,n}}$ را یک ماتریس n × n از یک‌ها در نظر بگیرید، خواص زیر را برای J داریم :

• اثر J برابر n است^[۲]، همچنین تنها زمانی دترمینان ناصفر (در اینجا برابر ۱) است که n برابر ۱ باشد ، در غیر این صورت دترمینان برابر صفر می‌شود.
• چند جمله‌ای مشخصه J برابر ${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$ است.
• رتبه J برابر ۱ است و دو مقدار ویژه دارد، یکی n با مرتبه تکرار 1 و دیگری 0 با مرتبه تکرار n − 1 .^[۳]
• برای هر ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$ داریم ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ . ^[۴]
• در ضرب هادامار، J عنصر خنثی است .^[۵]

اگر J را به عنوان یک ماتریس در اعداد حقیقی بررسی کنیم، ویژگی‌های زیر نیز برقرارند :

• ماتریس ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ ماتریسی خودتوان است .^[۴]
• ماتریس نمایی J برابر ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J}$ است .

کاربردها

ماتریس یک‌ها در زمینه ترکیبیات کاربردهایی دارند، به طور خاص‌تر در استفاده از روش‌های جبری برای نظریه گراف . به عنوان مثال، اگر A ماتریس همسایگی گراف n-راسی و بدون جهت G و J ماتریس یک‌ها از همان بُعد باشند، آنگاه G یک گراف منتظم است اگر و تنها اگر AJ = JA .^[۶]

جستارهای وابسته

• ماتریس صفر ، ماتریسی که در آن همه‌ی درایه‌ها صفر هستند.
• ماتریس تک ورودی

منابع

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012), "0.2.8 The all-ones matrix and vector", Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 8, ISBN 9780521839402
2. Stanley, Richard P. (2013), Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN 9781461469988.
3. (Stanley 2013); (Horn و Johnson 2012), p. 65.
4. Timm, Neil H. (2002), Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer, p. 30, ISBN 9780387227719.
5. Smith, Jonathan D. H. (2011), Introduction to Abstract Algebra, CRC Press, p. 77, ISBN 9781420063721.
6. Godsil, Chris (1993), Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, ISBN 9780412041310.