میانگین تعمیم‌یافته

نمودار چند میانگین تعمیم‌یافته ${\displaystyle M_{p}(1,x)}$.

در ریاضیات، میانگین تعمیم‌یافته (به انگلیسی: Generalized mean) (یا میانگین توانی یا میانگین هلدر)^[۱] خانواده‌ای از توابع برای تجمیع مجموعه‌های اعداد هستند. اینها به عنوان موارد خاص عبارتند از میانگین فیثاغورثی (میانگین حسابی، میانگین هندسی و میانگین همساز).

تعریف

اگر p یک عدد حقیقی غیر صفر باشد، و y,x اعداد حقیقی مثبت هستند، آنگاه میانگین تعمیم‌یافته یا میانگین توانی با توان p این اعداد حقیقی عبارت است از:^[۲]

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.}$$

برای p=۰ این معادله برابر با میانگین هندسی می‌شود:

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}$$

همچنین، برای دنباله‌ای از عددهای موزون مثبت، میانگین تعمیم‌یافته وزنی به‌صورت زیر است:

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}}$$

و زمانی که p=۰ برابر با میانگین هندسی موزون می‌گردد:

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}$$

جستارهای وابسته

• میانگین
• میانگین هرونی

منابع

1. Sýkora, Stanislav (2009). "Mathematical means and averages: basic properties". Stan's Library. Castano Primo, Italy: Stan’s Library. III. doi:10.3247/SL3Math09.001.
2. de Carvalho, Miguel (2016). "Mean, what do you Mean?". The American Statistician. 70 (3): 764‒776. doi:10.1080/00031305.2016.1148632. hdl:20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c.

• ویکی‌پدیا انگلیسی: en:Generalized mean. تاریخ بازبینی ۷ ژوئیه ۲۰۱۴