نابرابری برادران مارکوف

در ریاضیات، نابرابری برادران مارکوف (انگلیسی: Markov brothers' inequality) در دهه ۱۸۹۰ توسط برادران آندری مارکوف و ولادیمیر مارکوف که دو برادر ریاضیدان روس بودند، ثابت شد. این نابرابری، بیشینه مشتق یک چند جمله‌ای در یک محدوده خاص، برای حداکثرسازی آن چند جمله‌ای را اثبات می‌کند.^[۱] برای k = 1 که توسط آندره مارکوف تعریف شده‌است^[۲] و برای k = 2,3,... توسط برادرش ولادیمیر مارکوف تعریف شده‌است.^[۳]

تعریف

اگر P یک چندجمله‌ای با درجهٔ ≤ n باشد برای همهٔ اعداد غیر منفی ${\displaystyle k}$ داریم:

${\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|P^{(k)}(x)|\leq {\frac {n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}}\max _{-1\leq x\leq 1}|P(x)|.}$

تساوی برای چندجمله‌ای چبیشف از نوع اول به دست می‌آید.

کاربرد

نابرابری برادران مارکوف برای به دست آوردن حدهای کمتر نظریه پیچیدگی محاسباتی مورد استفاده قرار می‌گیرد که به آن روش چندجمله‌ای می‌گویند.^[۴]

منابع

1. Achiezer, N.I. (1992). Theory of approximation. New York: Dover Publications, Inc.
2. Markov, A.A. (1890). "On a question by D. I. Mendeleev". Zap. Imp. Akad. Nauk. St. Petersburg. 62: 1–24.
3. Markov, V.A. (1892). "О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке (On Functions of Least Deviation from Zero in a Given Interval)". Appeared in German with a foreword by Sergei Bernstein as Markov, V.A. (1916). "Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen". Math. Ann. 77: 213–258. doi:10.1007/bf01456902.
4. "Polynomial Method"

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Markov brothers' inequality». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۳ دسامبر ۲۰۱۹.