هندسه سیمپلکتیک

نمودار فازی نوسانگر ون در پل، یک سیستم تک-بعدی. فضای فازی اولین شیء مورد مطالعه در هندسه سیمپلکتیک بود.

هندسه سیمپلکتیک (به انگلیسی: Symplectic Geometry)، شاخه ای از هندسه دیفرانسیل و توپولوژی دیفرانسیل است که به مطالعه منیفلدهای سیمپلکتیک می‌پردازد؛ یعنی، منیفلد های دیفرانسیل‌پذیری که مجهز به 2-فرمی های بسته ناتباهیده باشند. منشأ هندسه سیمپلکتیک در فرمولبندی همیلتونی مکانیک کلاسیک می باشد، در آنجا فضای فازی سیستم های کلاسیک خاصی، روی ساختار یک منیفلد سیمپلکتیک اختیار می شود.^[۱]

معرفی انتگرال گیری

یک هندسه سیمپلکتیک بر روی فضای هموار زوج-بعدی یک منیفلد دیفرانسیل تعریف می شود که. در این فضا، یک شیء هندسی، یعنی همان فرم سیمپلکتیک ای تعریف می شود که امکان اندازه گیری اندازه اشیاء دو بعدی را در این فضا فراهم می آورد. این فرم سیمپلکتیک در هندسه سیمپلکتیک نقشی مشابه با تنسور متریک در هندسه ریمانی بازی می کند. با این تفاوت که تنسور متریک طول و زوایا را اندازه گیری می کند، در حالی که فرم سیمپلکتیک به اندازه گیری مساحت های جهت دار می پردازد.^[۲]

هندسه سیمپلکتیک از مطالعه مکانیک کلاسیک ظهور پیدا می کند، مثالی از ساختار سیمپلکتیک ، حرکت یک شیء در مسیر یک بعدیست. برای مشخص کردن مسیر حرکت یک شیء، نیاز است که هم موقعیت ${\displaystyle q}$ آن شیء مشخص باشد هم گشتاور ${\displaystyle p}$ آن، در نتیجه نقطه ${\displaystyle (p,q)}$ در صفحه اقلیدسی ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ شکل می گیرد. در این حالت، فرم سیمپلکتیک به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

که یک فرم مساحت است که از طریق انتگرال‌گیری به اندازه گیری مساحت ناحیه ${\displaystyle S}$ در صفحه می پردازد:

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

این ناحیه مهم است، چون با عبور سیستم های دینامیکی محافظه‌کار در زمان پیش روند، این مساحت تغییر نکرده، لذا یک پایای مهم برای آن سیستم خواهد بود.^[۲]

هندسه های سیمپلکتیک ابعاد بالاتر نیز به طور مشابه تعریف می شوند. یک هندسه سیمپلکتیک 2n-بعدی به صورت زوج جهت های زیر:

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

در یک منیفلد 2n-بعدی به همراه فرم سیمپلکتیک زیر تعریف می شود:

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

این فرم سیمپلکتیک یک ناحیه 2n-بعدی ${\displaystyle V}$ در فضا تشکیل می دهد. این ناحیه به صورت جمع نواحی تصویر های ${\displaystyle V}$ روی هر صفحه حاصل از جفت جهت ها می باشد:^[۲]

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

یادداشت‌ها

1. Hartnett, Kevin (February 9, 2017). "A Fight to Fix Geometry's Foundations". Quanta Magazine.
2. McDuff, Dusa (2010), "What is Symplectic Geometry?" (PDF), in Hobbs, Catherine; Paycha, Sylvie (eds.), European Women in Mathematics – Proceedings of the 13th General Meeting, World Scientific, pp. 33–51, ISBN 9789814277686, archived from the original (PDF) on 6 اكتبر 2014, retrieved 5 October 2014 {{citation}}: Check date values in: |archive-date= (help)

منابع

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Fomenko, A. T. (1995). Symplectic Geometry (2nd ed.). Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-901-3. (An undergraduate level introduction.)
• de Gosson, Maurice A. (2006). Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Weinstein, Alan (1981). "Symplectic Geometry" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 5 (1): 1–13. doi:10.1090/s0273-0979-1981-14911-9.
• Weyl, Hermann (1939). The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Reprinted by Princeton University Press (1997). شابک ‎۰−۶۹۱−۰۵۷۵۶−۷. MR0000255.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Symplectic Geometry». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۶ می ۲۰۱۹.