کره‌های دندلین

در هندسه، از کره‌های دندلین (انگلیسی: Dandelin spheres) برای اثبات بیضی بودن تقاطع یک صفحه و یک مخروط در صورت ناموازی بودن صفحه با قاعده، ارتفاع و یال آن استفاده می‌شود.

تاریخچه

در ۱۸۲۲ ریاضی‌دان بلژیکی جرمینال پیر دندلین با ابداع کره‌های دندلین اثبات کرد که بیضی ساخته‌شده با استفاده از تعریف کانونی و بیضی ساخته‌شده با برخورد صفحه و مخروط یکی‌اند.^[۱] در ۱۸۲۹ نیز پیرس مورتون^[الف] با استفاده از کره‌های دندلین ثابت کرد که بیضی ساخته‌شده با تعریف کانون و خط هادی هم با بیضی ساخته شده در تقاطع صفحه و مخروط یکی است.^{[نیازمند منبع]}

اثبات

کره‌های دندلین مماس بر صفحهٔ زردرنگی‌اند که مخروط را قطع کرده‌است.

با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی تعریف‌شده با دو کانون با بیضی ساخته‌شده از برخورد مخروط و صفحه یکی است.^[۲] گیریم صفحهٔ ${\displaystyle e}$ مخروطی را قطع می‌کند و در محل انقطاع یک منحنی تشکیل شده‌است. دو کرهٔ دندلین ${\displaystyle G_{1}}$ روی صفحه و ${\displaystyle G_{2}}$ زیر صفحه تعریف شده‌اند. تقاطع هر کره با مخروط یک دایره است (${\displaystyle k_{1}}$ و ${\displaystyle k_{2}}$)، و هر کره بر صفحهٔ ${\displaystyle e}$ را در یک نقطه (${\displaystyle F_{1}}$ و ${\displaystyle F_{2}}$) مماس است. گیریم P نقطه‌ای روی منحنی باشد. قصد است که ثابت شود با حرکت ${\displaystyle P}$ بر روی منحنی، فاصلهٔ ${\displaystyle d(F_{1},P)+d(F_{2},P)}$ ثابت می‌ماند:

• گیریم خطی که از ${\displaystyle P}$ و رأس ${\displaystyle S}$ می‌گذرد دو دایره را در نقاط ${\displaystyle P_{1}}$ و ${\displaystyle P_{2}}$ قطع کند.
• با حرکت ${\displaystyle P}$ بر روی منحنی، ${\displaystyle P_{1}}$ و ${\displaystyle P_{2}}$ بر روی دو دایره حرکت می‌کنند.
• ${\displaystyle PF_{1}}$ و ${\displaystyle PP_{1}}$ هر دو از نقطهٔ ${\displaystyle P}$ آغاز شده‌اند و بر دایرهٔ ${\displaystyle G_{1}}$ مماسند، پس ${\displaystyle PF_{1}=PP_{1}}$ (چرا که دو مثلث قائم‌الزاویهٔ ${\displaystyle MPF_{1}}$ و ${\displaystyle MPP_{1}}$ همنهشتند).
• به همین ترتیب ${\displaystyle PF_{2}=PP_{2}}$.
• از آنجا که ${\displaystyle k_{1}}$ و ${\displaystyle k_{2}}$ موازی‌اند، فاصلهٔ ${\displaystyle P_{1}}$ و ${\displaystyle P_{2}}$ همواره عدد ثابتی است؛ بنابراین با حرکت ${\displaystyle P}$ روی منحنی فاصلهٔ ${\displaystyle d(F1,P)+d(F2,P)}$ ثابت می‌ماند. پس ثابت می‌شود که منحنی مورد بحث همان بیضی است.^[۳]

کره‌های دندلین و بیضی. پاره‌خط‌های آبی خط هادی اند.

با استفاده از کره‌های دندلین می‌توان اثبات کرد که بیضی حاصل از تعریف با کانون و خط هادی همان بیضی حاصل شده از تقاطع یک صفحه و یک مخروط است.^{[نیازمند منبع]}

منابع

1. Pierce Morton

1. Lockhart 2012‏:‎144
2. Lockhart 2012‏:‎144
3. Lockhart 2012‏:‎145-148

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Dandelin spheres». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ دسامبر ۲۰۱۸.

پیوند به بیرون