Eilenbergin–Steenrodin aksioomat

Eilenbergin–Steenrodin aksioomat ovat kokoelma ominaisuuksia, jotka topologisten avaruuksien tutkimiseen käytettävien homologiateorioiden on toteutettava. Nämä ominaisuudet toteuttavat teoriat tuottavat samat keskeiset tulokset ja samat homologiset ominaisuudet samoille topologisille avaruuksille.

Aksioomien tuoma hyöty on kahtalainen: Ennen kuin Samuel Eilenberg ja Norman Steenrod tunnistivat ja kokosivat aksioomat, erilaisia homologiateorioita oli paljon, eikä perusteellisesti ymmärretty miksi ne tuottavat samat tulokset. Toisaalta erilaisia teorioita (kuten simpleksihomologia, singulaarinen homologia ja Čechin homologia) tarvitaan koska kaikkia topologisia avaruuksia ei voida - eikä kannata - analysoida samoilla homologiateorioilla, ja aksioomien toteutuminen takaa että jos jokin avaruus voidaan analysoida kahdella eri homologiateorialla, ne tuottavat samat tulokset.

Formaalisti

Aksioomat koskevat topologisten avaruuksien pareja ${\displaystyle (A,B)}$ joissa ${\displaystyle B}$ on ${\displaystyle A}$:n aliavaruus, sekä perhettä funktoreita ${\displaystyle H_{i}}$, jotka liittävät kuhunkin pariin perheen Abelin ryhmiä (nämä ovat parin homologiaryhmät). Lisäksi se koskee reunahomomorfismien indusoimia kuvauksia ${\displaystyle \partial _{*}:H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)}$. Homologiaryhmät käytännössä lasketaan reunahomomorfismeista, mutta tässä yleisessä yhteydessä niitä ei ilmaista suoraan vaan em. kuvauksella.

1. Homotopia-aksiooma: Keskenään homotopiset kuvaukset parilta ${\displaystyle (A_{1},B_{1})}$ parille ${\displaystyle (A_{2},B_{2})}$ indusoivat samat homomorfismit homologiarymiltä ${\displaystyle H_{n}(A_{1},B_{1})}$ homologiarymille ${\displaystyle H_{n}(A_{2},B_{2})}$.
2. Poistoaksiooma: Jos U on parin (X, A) X:n osajoukko s.e. U:n sulkeuma on A:n sisäpisteistön osajoukko, inkluusiokuvaus ${\displaystyle i:(X-U,A-U)\to (X,A)}$ indusoi isomorfismin homologiaryhmien ${\displaystyle H_{n}(X-U,A-U)}$ ja ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ välille (eli rymät ovat rakenteeltaan tarkalleen samanlaisia).
3. Dimensioaksiooma: Jos P on yhden pisteen avaruus, ${\displaystyle H_{n}(P)=0}$ pätee kaikille ${\displaystyle n\neq 0}$.
4. Additiivisuusaksiooma: Jos ${\displaystyle X=\vee _{\alpha }{X_{\alpha }}}$ pätee, tällöin pätee myös ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).}$
5. Eksaktisuusaksiooma: Jokainen pari (X, A) indusoi pitkän homologiajonon inkluusiokuvauksille ${\displaystyle i:A\to X}$ ja ${\displaystyle j:X\to (X,A)}$:

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .}$