Etäisyysmoduli

Etäisyysmoduli on tähtitieteen keskeisimpiä yhtälöitä ja lähes kaikki tähtitieteelliset etäisyydenmittausmenetelmät perustuvat joiltakin osin siihen.

Etäisyysmodulin idea voidaan tiivistää siihen tosiseikkaan, että kahdesta yhtä kirkkasta kohteesta kauempana olevan lähettämä säteily jakaantuu laajemmalle pinnalle. Olkoon ${\displaystyle m}$ kohteen havaittu kirkkaus eli näennäinen magnitudi. Tämä suure saadaan mitattua suoraan teleskooppiin liitetyn fotometrin avulla. Kohteen todellista kirkkautta kuvaava suure, absoluuttinen magnitudi puolestaan on määritelty niin, että se olisi kohteen näennäinen kirkkaus, jos mittaisimme sitä 10 parsekin päässä itse kohteesta. Näiden kahden luvun erotusta ${\displaystyle m-M}$ kutsutaan kohteen etäisyysmoduliksi ja se on yhteydessä kohteen etäisyyteen ${\displaystyle r}$ siten, että

${\displaystyle m-M=5\lg {\frac {r}{10pc}}}$

Missä ${\displaystyle lg}$ on kymmenkantainen logaritmi ja etäisyys ${\displaystyle r}$ on luonnollisesti lausuttu parsekeina. Logaritmin sisällä oleva luku, 10 parsekia, seuraa suoraan absoluuttisen magnitudin määritelmästä.

Etäisyysmoduli pätee kaikkien magnitudien kohdalla. Kyseessä voi siis olla yhtä lailla vaikkapa bolometrinen (näennäinen magnitudi - absoluuttinen magnitudi) -erotus kuin jollakin tietyllä kapealla aallonpituuskaistalla mitattu magnitudipari. Yhtälön käytön vaikeus liittyykin tapaan, jolla tutkittavan kohteen absoluuttinen magnitudi ${\displaystyle M}$ saadaan luotettavasti määriteltyä. Tämä vaatii lähes poikkeuksetta teoreettista taustatietoa kohteen fysiikasta.

Yllä oleva etäisyysmodulin esitysmuoto on voimassa vain tyhjässä avaruudessa. Lähes poikkeuksetta kohdetta joudutaan havaitsemaan tähtienvälisen aineen läpi, jolloin osa valosta häviää tähän aineeseen ekstinktiona. Mikäli kohde on lähellä, ekstinktio voidaan mitata kohteen punertumasta ja arvioida vakioksi, jolloin etäisyysmoduli voidaan kirjoittaa muotoon

${\displaystyle m-M=5\lg {\frac {r}{10pc}}+A}$,

missä ${\displaystyle A}$ on nyt tähtienvälisen aineen aiheuttama häviö magnitudeina. Pitkillä etäisyyksillä joudutaan ekstinktio lausumaan himmenemisenä etäisyysyksikköä kohti (esimerkiksi 1 magnitudi/kiloparsek). Tällöin vakion ${\displaystyle A}$ korvaa etäisyydestä riippuva termi:

${\displaystyle m-M=5\lg {\frac {r}{10pc}}+ar}$,

missä kerroin ${\displaystyle a}$ ilmaisee häviön etäisyysyksikköä kohti. Tästä yhtälöstä etäisyyttä ${\displaystyle r}$ ei ole enää mahdollista laskea analyyttisesti, vaan kaavaa joudutaan iteroimaan numeerisesti.

Etäisyysmodulin johtaminen

Etäisyysmoduli on helppo johtaa absoluuttisen ja näennäisen magnitudin määritelmistä lähtien. Tarkastellaan kohdetta, jonka luminositeetti

${\displaystyle L=4\pi r^{2}F_{r}\,}$,

missä F_r on kohteesta etäisyydellä r mitattava vuontiheys. Koska luminositeetti on kohteen fysikaalisista ominaisuuksista riippuva suure se on sama millä tahansa etäisyydellä kohteesta ja ero vuontiheydessä johtuu siis vain etäisyyksien erosta. Ratkaistaan vuontiheys ${\displaystyle F_{r}={\frac {L}{4\pi r^{2}}}}$ ja sijoitetaan näennäisen magnitudin kaavaan

${\displaystyle m=-2,\!5\lg {\frac {F_{r}}{F_{0}}}=-2,\!5\lg {\frac {L}{4\pi r^{2}F_{0}}}}$.

Tässä esiintyvä F₀ on magnitudin määritelmässä esiintyvä "vertailuvuontiheys". Vastaavasti absoluuttiselle magnitudille saadaan määritelmänsä mukaisesti

${\displaystyle M=-2,\!5\lg {\frac {L}{4\pi (10pc)^{2}F_{0}}}}$.

Lasketaan nyt näiden erotus:

${\displaystyle m-M=-2,\!5\lg {\frac {L}{4\pi r^{2}F_{0}}}+2,\!5\lg {\frac {L}{4\pi (10pc)^{2}F_{0}}}}$

eli logaritmin laskusääntöjen nojalla

${\displaystyle m-M=-2,\!5\lg(L)+2,\!5\lg(4\pi F_{0}r^{2})+2,\!5\lg(L)-2,\!5\lg(4\pi F_{0}(10pc)^{2})}$.

Tässä 1. ja 3. termi kumoavat toisensa ja logaritmin laskusääntöjen vuoksi voidaan kirjoittaa

${\displaystyle m-M=2,\!5\lg {\frac {4\pi F_{0}r^{2}}{4\pi F_{0}(10pc)^{2}}}}$

mistä 4πF₀ supistuu pois ja kun potenssin kakkosen tuo logaritmin eteen saadaan etäisyysmodulin kaava.