Hölderin epäyhtälö

Matematiikassa Hölderin epäyhtälö on mittateoriaan liittyvä epäyhtälö, jota käytetään ${\displaystyle L^{p}}$-avaruuksien tutkimisessa.

Lause (Hölderin epäyhtälö). Olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus ja olkoot ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ joille ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Tällöin kaikille mitallisille reaali- ja kompleksiarvoisille funktioille f ja g on voimassa

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Summaversiolle on olemassa seuraava yleistys:^[1] Olkoot ${\displaystyle p,q,r>1}$ joille ${\displaystyle 1/p+1/q+1/r=1}$ ja ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n}}$ kolme jonoa positiivisia reaalilukuja. Tällöin

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}c_{i}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}\right)^{1/q}\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{r}\right)^{1/r}}$

Yhtälöstä on myös olemassa erikoistapaus Liapounovin epäyhtälö.

Lähteet

1. http://www.win.tue.nl/~gwoegi/papers/cauchy.pdf (Arkistoitu – Internet Archive)

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (25, 152 sivua) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7