Kimmoinen törmäys

Elastisessa törmäyksessä kokonaisliike-energia ja liikemäärä pysyvät samoina.

Kimmoinen eli elastinen törmäys on törmäys, jossa törmäävien hiukkasten kokonaisenergia ja kokonaisliikemäärä ovat samat ennen ja jälkeen törmäyksen.

Törmäysprosessin alussa hiukkasten ollessa kosketuksissa toisiinsa kineettinen energia on muuntunut elastiseksi potentiaalienergiaksi, mutta törmäyksen lopussa se on muuttunut takaisin kineettiseksi energiaksi, joka on yhtä suuri kuin alussa.^[1] Elastisessa törmäyksessä kineettinen energia ei siis muutu lopullisesti toiseksi energian muodoksi, esimerkiksi törmäävien kappaleiden lämmöksi tai muodonmuutoksiin.

Esimerkki elastisesti törmäävistä hiukkasista ovat yleensä kaasu- ja nestemolekyylit. Makroskooppisten kappaleiden elastiset törmäykset ovat lähes mahdottomia.

Elastisen törmäyksen vastakohta on epäelastinen törmäys, jonka jälkeen kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia on pienempi kuin ennen törmäystä. Osa energiasta muuttuu tällöin lämmöksi tai menee kappaleiden muodonmuutoksiin. Ääritapauksena on täysin kimmoton törmäys, jossa kappaleet eivät enää törmäyksen jälkeen liiku toistensa suhteen.

Kimmoisen törmäyksen yhtälöt

Oletetaan kaksi kappaletta, joita merkitään alaindekseillä 1 ja 2. Käytetään niiden massoille merkintöjä m₁ ja m₂, nopeuksille ennen törmäystä merkintöjä u₁ ja u₂ sekä törmäyksen jälkeen v₁ ja v₂. Käsitellään tapausta, jossa kappaleiden liikkeet ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia. Oletetaan lisäksi, että nopeudet ovat niin pieniä, ettei suhteellisuusteorian tuloksia tarvitse ottaa huomioon.

Kappaleiden yhteenlaskettu liikemäärä säilyy törmäyksessä, mikä voidaan esittää yhtälöllä:

${\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}$

Kimmoisessa törmäyksessä säilyy myös niiden yhteenlaskettu liike-energia:

${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}$

Nämä yhtälöt muodostavat yhtälöparin, josta voidaan ratkaista joko nopeudet törmäyksen jälkeen, jos nopeudet ennen törmäystä tunnetaan, tai myös päinvastoin. Yhtälöparilla on kaksi ratkaisua:

${\displaystyle v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ , ${\displaystyle v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

tai

${\displaystyle \ v_{1}=u_{1}}$ , ${\displaystyle \ v_{2}=u_{2}}$.

Näistä edellinen vastaa tilannetta törmäyksen jälkeen. Jälkimmäisessä ratkaisussa kappaleilla on yhä alkuperäinen liikemäärä eli se vastaa tilannetta ennen törmäystä.

Esimerkkitapaus: kahden pallon törmäys:

Pallo 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s

Pallo 2: massa = 5 kg, v = −6 m/s

Törmäyksen jälkeen:

Pallo 1: v = −8.5 m/s

Pallo 2: v = 1.5 m/s

Ominaisuuksia

Kappaleiden suhteellinen nopeus toisiinsa nähden on kimmoisen törmäyksen jälkeen yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin sitä ennen, toisin sanoen:

${\displaystyle \ v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$

Tämä seuraa siitä, että kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia on

${\displaystyle \ m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle \Rightarrow m_{1}(v_{1}-u_{1})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})}$

Liikemäärää koskeva yhtälö voidaan kirjoittaa myös muotoon:

${\displaystyle \ m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}$

Jakamalla energiaa koskeva yhtälö liikemäärää koskevalla saadaan:

${\displaystyle \ v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$

Näin ollen kappaleiden välinen suhteellinen nopeus on törmäyksen jälkeen yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin sitä ennen.

Yhtä suurten massojen kimmoinen törmäys

Tämä tulos pätee, käytettiinpä mitä tahansa sellaista koordinaatistoa, jonka suhteen kappaleiden liike ennen törmäystä on tasaista.

Massojen kimmoinen törmäys esitettynä liikkuvassa vertailukoordinaatistossa.

Törmäävien kappaleiden yhdessä muodostaman systeemin massakeskipisteen nopeus ei muutu kimmoisessa törmäyksessä eli se on sama hetkellä ${\displaystyle \ t}$ ennen törmäystä ja hetkellä ${\displaystyle \ t'}$ törmäyksen jälkeen. Massakeskipisteen sijainti ennen törmäystä on

${\displaystyle {\bar {x}}(t)={\frac {m_{1}\cdot x_{1}(t)+m_{2}\cdot x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}}$

ja törmäyksen jälkeen

${\displaystyle {\bar {x}}(t')={\frac {m_{1}\cdot x_{1}(t')+m_{2}\cdot x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}}$

Niinpä sen nopeus ennen törmäystä ja sen jälkeen ovat:

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ ja

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}'={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Edellisen lausekkeen ${\displaystyle \ v_{\bar {x}}}$ osoittaja on kokonaisliikemäärä ennen törmäystä, jälkimmäisen lausekkeen ${\displaystyle \ v_{\bar {x}}'}$ osoittaja taas törmäyksen jälkeen. Koska liikemäärä säilyy, nämä ovat yhtä suuret eli

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}=\ v_{\bar {x}}'}$.

Kappaleiden nopeudet niiden muodostaman systeemin massakeskipisteen suhteen ovat kimmoisen törmäyksen jälkeen yhtä suuret mutta vastakkaismerkkiset kuin sitä ennen. Jos kappaleiden massat ovat eri suuret, raskaamman kappaleen nopeus massakeskipisteen suhteen on pienempi kuin kevyemmän. Jos kappaleiden massat ovat hyvin eri suuret, niistä raskaamman liike ei muutu kovin paljon, mutta kevyempi kimpoaa takaisin lähes yhtä suurella nopeudella kuin tulikin.

Erimassaisten kappaleiden kimmoinen törmäys

Toisaalta jos kappaleiden massat ovat suunnilleen yhtä suuret ja toisella niistä on suuri alkunopeus ${\displaystyle \ u_{1}}$, sen nopeus törmäyksen jälkeen (${\displaystyle \ v_{1}}$) on pieni. Tähän perustuvat ydinreaktoreissa käytettävät neutronihidastimet, jolla nopeat neutronit hidastetaan termisiksi neutroneiksi niin, että ne voivat ylläpitää ketjureaktiota. Niissä käytetään materiaalia, jossa on etupäässä kevyitä atomiytimiä, joiden massa on samaa luokkaa kuin neutronin ja jotka eivät helposti myöskään absorboi neutroneja.

Lähteet

1. Young & Freedman: ”8.4”, University Physics with Modern Physics, 11. painos. Pearson, 2004. ISBN 0-321-20469-7 (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Launcheston College – Elastic Collisions & Inelastic Collisions (Arkistoitu – Internet Archive)