Kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste

Kulman puolittajat leikkaavat pisteessä I, joka on yhtä etäällä kolmion sivuista. Jos keskipisteeseen piirretään ympyrä, jonka säde on kyseinen etäisyys, jolloin ympyrä sivuaa kolmion kaikkia sivuja (piste).

Kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste on geometriassa kolmion sisäpiste, joka syntyy, kun kolmion jokaisen kärjen kulmanpuolittaja leikkaa toisensa.^[1] Leikkauspiste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä, ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella ${\displaystyle \scriptstyle X_{1}}$. Pisteen nimeksi valitaan joskus I johtuen ilmeisesti sen monikielisestä nimestä, joka kirjoitetaan englanniksi incenter. Se viittaa kolmion sisään piirrettyyn ympyrään,^[2][3] jonka keskipiste se samalla on.

Sijainti kolmiossa

Kulmanpuolittaja kulkee yhtä kaukana puolittamansa kulman vasemmasta ja oikeasta kyljestä, joten leikkauspiste on yhtä kaukana kaikista kolmion sivuista. Ympyrä, jolla on säteenään tämä etäisyys, sivuaa kolmion jokaista sivua sisältäpäin. Leikkauspisteen etäisyys sivuista ${\displaystyle a,\,b\ ja\ c}$ on säteen ${\displaystyle r}$ suuruinen

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$ ^[4]

kun kolmion piirin pituuden puolikas on ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$ ^[4]

Karteesit koordinaatit

Kolmion kolme kärkeä merkitään ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$, ${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$, ja ${\displaystyle C(x_{c},y_{c})}$ ja kärkien vastaiset sivut merkitään vastaavilla pienillä kirjaimilla ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ja ${\displaystyle c}$. Leikkauspisteen koordinaatit ovat silloin

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}{\bigg )}.}$ ^[5]

Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat ${\displaystyle 1:1:1}$ eli leikkauspiste sijaitsee yhtä etäällä kaikista sivuista.^[6][3][5]

Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat ${\displaystyle \sin \alpha \,:\,\sin \beta \,:\,\sin \gamma =a:b:c}$.^[6][3][5]

Muuta

• Kolmion ulkokeskuskolmion ortokeskus on samalla kolmion kulmien puolittajien leikkauspiste.^[7]
• Leikkauspiste sijaitsee Eulerin suoralla vain tasakylkisellä kolmiolla.^[5]

Lähteet

• Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
• Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

Viitteet

1. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 98
2. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 26
3. Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
4. Seppänen, Raimo et al.: MAOL, s. 29. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9
5. Weisstein, Eric W.: Incenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
6. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s. 7
7. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s. 15–16