Kroneckerin tulo

Kroneckerin tulo on tulo, joka voidaan määrittää kahdelle tai useammalle matriisille. Tuloa merkitään ${\displaystyle \otimes }$-symbolilla. Kroneckerin tulo määritellään seuraavasti: Olkoot ${\displaystyle A=a_{ij}m\times n}$- ja ${\displaystyle B=b_{ij}p\times q}$-matriisi. Tällöin saadaan matriisi, jonka koko on ${\displaystyle mp\times nq}$.

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},}$

eli alkioittain tarkasteltuna:

${\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}$^[1]

Kroneckerin tulo matriisin ja vakion välillä palautuu normaaliksi matriisin kertomiseksi vakiolla eli ${\displaystyle k\otimes A=A\otimes k=kA}$, missä ${\displaystyle k}$ on skalaari. Samoin Kroneckerin tulo matriisin ja nollamatriisin välillä on nolla. Laskettaessa saadaan Kroneckerin tuloa yksikkömatriisin ja matriisin välille, jonka diagonaalilla on matriisi A eli ${\displaystyle I\otimes A=diag(A,\dots ,A)}$. Vastaavasti matriisin ja yksikkömatriisin välinen Kroneckerin tulo on ${\displaystyle A\otimes I={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {I} &\cdots &a_{1n}\mathbf {I} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {I} &\cdots &a_{mn}\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$. Diagonaalimatriisin ${\displaystyle D=\{d_{i}\}}$, jonka koko on ${\displaystyle m}$ ja matriisin ${\displaystyle A}$ Kroneckerin tulo on ${\displaystyle D\otimes A=diag(d_{1}A,d_{2}A,\dots ,d_{m}A)}$^[1]

Esimerkki:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot 7&4\cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.}$

Laskusääntöjä^[1]

Olkoot ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m\times n}$-kokoisia matriiseja, ${\displaystyle C}$ ja ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p\times q}$-kokoisia matriiseja sekä ${\displaystyle k}$ vakio. Tällöin pätevät seuraavat laskusäännöt:

${\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B)}$

${\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C}$

${\displaystyle C\otimes (A+B)=C\otimes A+C\otimes B}$

${\displaystyle (A+B)\otimes (C+D)=(A\otimes C)+(A\otimes D)+(B\otimes C)+(B\otimes D)}$

Lähteet

1. Harville, David, A.: Matrix Algebra From a Statistician's Perspective, s. 333–335. Springer, 1997.