Nesbittin epäyhtälö

Nesbittin epäyhtälön (1903) mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b ja c on voimassa

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}$

Nesbittin epäyhtälö voidaan todistaa suuruusjärjestysepäyhtälön avulla. Nesbittin epäyhtälö on kuuluisin erikoistapaus yleisemmästä Shapiron epäyhtälöstä.

Yksinkertainen todistus

Merkitään ${\displaystyle d=b+c}$, ${\displaystyle e=a+c}$ ja ${\displaystyle f=a+b}$. Tällöin luvut ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$ ja ${\displaystyle f}$ ovat myös positiivisia ja ${\displaystyle a={1 \over 2}(-d+e+f)}$, ${\displaystyle b={1 \over 2}(d-e+f)}$ ja ${\displaystyle c={1 \over 2}(d+e-f)}$. Sijoittamalla nämä Nesbittin epäyhtälön vasempaan puoleen saamme

${\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}}$ ${\displaystyle ={\frac {de^{2}+d^{2}e+e^{2}f+ef^{2}+d^{2}f+df^{2}-3def}{2def}}}$ ${\displaystyle ={1 \over 2}(({d \over e}+{e \over d})+({e \over f}+{f \over e})+({d \over f}+{f \over d})-3)}$ ${\displaystyle \geq {1 \over 2}(2+2+2-3)={3 \over 2},}$

sillä positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa on aina ${\displaystyle \geq 2}$.

Jos nimittäin ${\displaystyle x}$ on positiivinen reaaliluku, niin on

${\displaystyle (x+{1 \over x})-2={x^{2}-2x+1 \over x}={(x-1)^{2} \over x}\geq 0,}$

mistä väite seuraa.

Yleistys

Olkoot ${\displaystyle a_{1},a_{2},...a_{n}}$,missä ${\displaystyle n\geq 2}$ on kokonaisluku, mielivaltaisia positiivisia reaalilukuja ja ${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$. Tällöin

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i} \over s-a_{i}}\geq {n \over n-1}.}$

Perustelu. Tapaus ${\displaystyle n=2}$ on yhtäpitävä sen kanssa, että positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa on aina ${\displaystyle \geq 2}$. Tapaus ${\displaystyle n=3}$ esitettiin ja perusteltiin tätä tulosta käyttäen edellä. Suuremmilla luvun ${\displaystyle n}$ arvoilla epäyhtälön todistus onnistuu samaa tekniikkaa käyttäen.

Esimerkiksi neljälle positiiviselle reaaliluvulle ${\displaystyle a,b,c,d}$ pätee siis

${\displaystyle {\frac {a}{b+c+d}}+{\frac {b}{a+c+d}}+{\frac {c}{a+b+d}}+{\frac {d}{a+b+c}}\geq {\frac {4}{3}}.}$

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.