Osamäärätesti

Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L. Matemaattisesti ilmaistuna

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L.}$ ^[1]

Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:

• jos ${\displaystyle L<1\!}$, niin sarja suppenee.
• jos ${\displaystyle L>1\!}$, niin sarja hajaantuu.
• jos ${\displaystyle L=1\!}$, niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.

Esimerkkejä

Suppeneva

Tutkitaan sarjan

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1+{\frac {1}{n}})\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.}$

Koska raja-arvo ${\displaystyle L={\frac {1}{e}}}$ on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.

Hajaantuva

Tutkitaan sarjan

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}$

suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|=1\cdot e=\!\,e>1.}$

Koska ${\displaystyle L=e\approx 2{,}718\dots }$ on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.

Testi ei kerro suppenemisesta

Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1,}$

niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.

Esimerkiksi sarja

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}$

hajaantuu, mutta

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}$

Sarja

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

puolestaan suppenee itseisesti, mutta

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}$

Sarja

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}$

suppenee ehdollisesti, mutta

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}$

Katso myös

• Vertailuperiaate
• Juuritesti
• Integraalitesti

Lähteet

1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 120 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3