Piilomuuttujateoria

Piilomuuttujateoriat ovat fysikaalisia teorioita, joiden mukaan fysikaalisen systeemin kvanttitila, sellaisena kuin se kvantti­mekaniikassa esitetään, ei kuvaa systeemiä täydellisesti. Toisin sanoen piilo­muuttuja­teorioiden kannattajien mukaan kvantti­mekaniikka on lopulta epä­täydellinen, ja täydellisen teorian tulisi kuvata kaikkea systeemin käyttäytymistä ja välttää täten kvantti­mekaniikalle ominainen indeterminismi. Tiettyjen mittausten epä­tarkkuus on kvantti­mekaniikan vallitseville tulkinnoille ominainen piirre, ja mittaustarkkuuden rajan osoittaa kvantita­tiivisesti Heisenbergin epätarkkuusperiaate.

Piilomuuttujateorioiden kuuluisin puolesta­puhuja oli Albert Einstein, joka esitti vasta­väitteitä kvantti­mekaniikan perustavalle toden­näköisyys­luonteelle^[1] ja ilmaisi ajatuksensa tunnetulla lauseella: "Olen vakuuttunut siitä, että Jumala ei heitä arpaa."^[2] Einstein, Podolsky ja Rosen väittivät, että kvantti­mekaniikkaan oli lisättävä "todellisuuden elementit", toisin sanoen piilo­muuttujat, jotta lomittumiset voitaisiin selittää ilman kauko­vaikutuksia.^[3] Myöhemmin Bellin teoreema osoitti, että tietyn tyyppiset lokaalit piilomuuttujateoriat ovat mahdottomia, tai tapahtumien on kehityttävä epälokaalisti. Muuan kuuluisa ei-lokaali teoria on de Broglien-Bohmin teoria.

Motivaatio

Yleisesti hyväksytyn Kööpen­haminan tulkinnan mukaan kvantti­mekaniikka on ei-deterministinen, mikä merkitsee, että se ei yleensä ennusta mittausten tuloksia varmuudella. Sen sijaan se osoittaa, millä toden­näköisyydellä saadaan mikäkin tulos, ja havaittavien suureiden mittaus­tarkkutta rajoittaa epätarkkuusperiaate. Herää kysymys, onko kvantti­mekaniikan taustalla kenties jokin syvempi todellisuus, joka olisi kuvattava perustavammalla teorialla, joka aina ennustaisi mittausten tulokset varmasti: jos jokaisen atomaarisen hiukkasen ominaisuudet tunnettaisiin tarkasti, koko systeemin kehitystä voitaisiin kuvata deterministi­sellä mallilla samaan tapaan kuin klassisessa fysiikassa.

Toisin sanoen on ajateltavissa, että kvantti­mekaniikan tavan­omainen tulkinta on epä­täydellinen luonnon kuvaus. Se, mitkä muuttujat on käsitettävä taustalla oleviksi "piilo­muuttujiksi", riippuu fysikaalisen kuvauksen tasosta. Esimerkiksi jos kaasua kuvataan lämpötilan, paineen ja tilavuuden käsittein, yksittäisten atomien nopeudet jäävät piilo­muuttujiksi.^[4]). De Broglien–Bohmin teoriaa kannattavat fyysikot väittävät, että maailman­kaikkeuden havaitun toden­näköisyys­luonteen taustalla on deterministinen, objektiivinen perustava taso, piilo­muuttujat. Toiset sen sijaan uskovat, ettei kvantti­mekaniikan taustalla ole mitään syvempää determinististä tasoa — kokeet ovat osoittaneet suuren joukon piilo­muuttuja­teorioita yhteen­sopimattomiksi havaintojen kanssa.

Kööpenhaminan tulkinta ei ole filosofisessa mielessä realistinen, toisin sanoen sen mukaan fysikaaliset suureet kuten hiukkasen sijainti ja liike­määrä eivät ole sellaisenaan olemassa ja kehity mittaus­prosessista riippumatta. Realistiset tulkinnat, jotka tietyssä määrin sisältyivät jo Feynmanin fysiikkaan, olettavat, että hiukkasilla on tietyt liike­radat. (Feynmanin diagrammit jakautuvat usein useampaan haaraan, joita ei sellaisenaan havaita; vain diagrammi kokonaisuudessaan esittää havaittavaa tapahtumaa.) Tällaisen näkemyksen mukaan nämä radat ovat melkein aina jatkuvia, mikä seuraa toisaalta valon­nopeuden äärellisyydestä ja toisaalta, mikä vielä merkittävämpää, vähimmän vaikutuksen peri­aatteesta, jonka Dirac on tuonut kvantti­mekaniikkaan. Mutta jatkuva liike jo matemaattisen määritelmänsä mukaan edellyttää determinististä liikettä ainakin tietyllä aika­välillä^[5] ja niinpä realismi on modernissa fysiikassa sekin yksi syy etsiä ainakin rajoitetusta determinismiä ja näin ollen piilo­muuttuja­teoriaa, mikäli sellainen on olemassa.

Vaikka determinismi oli alkujaan merkittävimpiä motiiveja, jotka saivat fyysikot etsimään piilo­muuttuja­teorioita, on yritetty laatia myös ei-deterministisiä piilo­muuttuja­teorioita, jotka nekin yrittävät selittää kvantti­mekaniikan formalismin taustalla piilevää oletettua todellisuutta. Sellainen on esimerkiksi Edward Nelsonin stokastinen mekaniikka.

"Jumala ei heitä arpaa"

Kesäkuussa 1926 Max Born julkaisi Zeitschrift für Physikissä artikkelin "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" ("Törmäysilmiöiden kvanttimekaniikka"), jossa hän ensimmäisenä selvästi esitteli toden­näköisyys­tulkinnan Erwin Schrödingerin saman vuoden alussa käyttöön ottamalle aaltofunktiolle. Born päätti artikkelinsa toteamukseen:

Tässä tulee esiin koko kysymys determinismistä. Kvantti­mekaniikassa ei ole sellaista suuretta, joka jokaisessa yksittäisessä tapauksessa kausaalisesti määrittäisi törmäyksen seuraukset; mutta myöskään koe­tulosten perusteella ei toistaiseksi ole mitään syytä uskoa, että atomilla olisi joitakin sisäisiä ominaisuuksia, jotka määrittäisivät törmäyksen tuloksen yksi­selitteisesti. Pitäisikö meidän toivoa myöhemmin löytävämme sellaiset ominaisuudet ... ja määrittää ne yksittäisissä tapauksissa. Vai pitäisikö meidän uskoa, että teorian ja koetulosten yhteen­sopivuus — myös mahdottomuus esittää ehdot kausaaliselle kehitykselle — on ennalta määrätty sopu­sointu, joka perustuu siihen, ettei sellaisia ehtoja ole? Olen itse taipuvainen hylkäämään determinismin atomien maailmassa. Mutta tämä on filosofinen kysymys, johon nähden fysikaaliset perustelut yksinään eivät ole riittäviä.

Einstein vastasi tähän:

Kvanttimekaniikka on hyvinkin huomion arvoinen. Mutta sisäinen ääni kertoo minulle, että se ei vielä ole oikeilla raiteilla. Teoria antaa paljon, mutta se tuskin johtaa meitä lähemmäksi Sen Vanhan salaisuuksia. Itse olen joka tapauksessa vakuuttunut siitä, että Hän ei pelaa arpapeliä.^[6][7]

Varhaisia yrityksiä piilomuuttujateorioiksi

Pian lausuttuaan kuuluisan kommenttinsa "Jumala ei pelaa arpapeliä" Einstein yritti muotoilla determinstisen vasta­ehdotuksen kvanttimekaniikalle. Preussin tiedeakatemian kokouksessa Berliinissä 5. toukokuuta 1927 hän esitteli teoriaansa käsittelevän artikkelin "Bestimmt Schrödinger's Wellenmechanik die Bewegung eines Systems vollständig oder nur im Sinne der Statistik?" (“Määrittääkö Schrödingerin aaltomekaniikka systeemin liikkeen täydellisesti vai ainoastaan tilastollisessa mielessä?”). ^[8] Kun artikkeli aiottiin julkaista akatemian lehdessä, Einstein päätti kuitenkin vetää sen takaisin, mahdollisesti koska hän huomasi, että sen mukaan lomittuneiden systeemien separoitumattomuudesta ei voitu päästä eroon niin kuin hän oli toivonut. ^[9]

Viidennessä Solvay-konferenssissa Belgiassa lokakuussa 1927, missä olivat läsnä ajan kaikki huomattavimmat teoreettiset fyysikot, Louis de Broglie esitteli oman versionsa deterministiseksi piilo­muuttuja­teoriaksi, ilmeisesti tietämättömänä siitä, että Einstein oli aiemmin samana vuonna yrittänyt vastaavaa. De Broglien teorian mukaan jokaiseen hiukkaseen liittyi kätketty pilottiaalto, joka ohjaa sen liike­rataa avaruudessa. Konferenssissa erityisesti Wolfgang Pauli arvosteli teoriaa tavalla, johon de Broglie ei kyennyt asian­mukaisesti vastaamaan. De Broglie hylkäsikin pian teoriansa.

Kvanttimekaniikan julistaminen täydelliseksi

Samassa viidennessä Solvay-konferenssissa Max Born ja Werner Heisenberg pitivät esitelmän, jossa he tekivät yhteen­vedon aiheen muutaman edellisen vuoden aikana tapahtuneesta suunnattomasta kehityksestä. Esitelmänsä loppu­päätelmänä he julisivat:

[V]aikka emme pidäkään .. sähkö­magneettisen kentän kvantti­mekaanista käsittelyä ... vielä loppuun saakka kehitettynä, pidämme kvantt­imekanikkaa suljettuna teoriana, jonka perustavia fysikaalisia ja matemaattisia oletuksia ei enää voida muuttaa . ... Kysymyksestä 'kausaalilain pätevyydestä' meillä on tämä mielipide: niin kauan kuin otetaan huomioon vain kokeet, joka voidaan suorittaa tähän mennessä saadun fysikaalisen ja kvantti­mekaanisen kokemuksen perusteella, oletus peri­aatteellisesta indeterminismistä, jota tässä pidetään perustavana, on sopusoinnussa koetulosten kanssa.^[10]

Bohrin ja Einsteinin väittelyt

Vaikka Einsteinin viidennessä Solvay-konferenssissa Bornille ja Heisenbergille esittämät vastaukset eivät ole säilyneet kirjallisessa muodossa, hänen tiedetään haastaneen kvantti­mekaniikan täydellisyyden epä­­virallisissa keskusteluissa aterioiden aikana. Tällöin hän esitti ajatuskokeita, joiden oli määrä osoittaa, ettei kvanttimekaniikka voinut olla täydellisesti oikeassa. Samoin hän teki kuudennessa Solvay-konferenssissa vuonna 1930. Kummallakin kerralla Niels Bohrin katsotaan yleensä onnistuneesti puolustaneen kvanttimekaniikkaa löytämällä virheitä Einsteinin todisteluissa.

EPR-paradoksi

Pääartikkeli: EPR-paradoksi

Bohrin ja Einsteinin väliset väittelyt huipentuivat vuonna 1935, kun Einstein lopulta esitti yleensä parhaana pidetyn todistelunsa kvantti­mekaniikan täydellisyyttä vastaan. Einstein, Podolsky ja Rosen ehdottivat, että "täydellinen" kuvaus olisi määriteltävä sellaiseksi, joka yksi­käsitteisesti määrittää kaikkien mitattavien ominaisuuksien arvot. Einstein esitti tällöin käytetystä todistelusta myöhemmin seuraavan yhteenvedon:

Ajatellaan mekaanista systeemiä, joka kohdistuu kahdesta rajoitetun ajan keskenään vuoro­vaikuttavasta osa­systeemistä A ja B. Olkoon ${\displaystyle \psi }$-funktio (toisin sanoen aaltofunktio ennen vuoro­vaikutusta annettu. Silloin Schrödingerin yhtälöstä saadaan myös ${\displaystyle \psi }$-funktio vuoro­vaikutuksen jälkeen. Määritetään nyt fysikaalisen systeemin tila A niin tarkasti kuin mittauksilla on mahdollista. Silloin kvantti­mekaniikka tekee mahdolliseksi määrittää mittaustulosten ja koko systeemin ${\displaystyle \psi }$-funktion perusteella ${\displaystyle \psi }$-funktio myös osasysteemille B. Tämä määritys antaa kuitenkin tuloksen, joka riippuu siitä, mitkä A:n fysikaaliset ominaisuudet (observaabelit) on mitattu (esimerkiksi koordinaatit tai liikemäärä). Koska vuoro­vaikutuksen jälkeen B:llä voi olla vain yksi fysikaalinen tila, jonka ei voi järkevästi katsoa riippuvan siitä, mitkä mittaukset on tehty systeemissä A, joka nyt on erillään B:stä, voidaan päätellä, että ${\displaystyle \psi }$-funktio ei yksi­käsitteisesti ilmoita fysikaalista tilaa. Tämä samaan systeemin B tilaan liittyvä useamman ${\displaystyle \psi }$-funktion yhdistelmä osoittaa jälleen, että ${\displaystyle \psi }$-funktiota ei voida tulkita yhden systeemin fysikaalisen tilan (täydelliseksi) kuvaukseksi.^[11]

Bohr vastasi Einsteinin haasteeseen tähdentämällä, että komplementaarisuusperiaatteen mukaan yksi Einsteinin mittaus­toimitusta koskevista oletuksista ei päde kvantti­mekaniikassa: kvantti­mekaaninen mittaus ei ainoastaan anna tietoa fysikaalisesta systeemistä vaan myös valmistaa sen:

Einsteinin, Podolskyn ja Rosenin [todistelu] sisältää moni­selitteisyyttä siltä osin kuin se koskee ilmaisun "millään tavoin häiritsemättä systeemiä" merkitystä. ... [J]o tällä asteella [siis esimerkiksi mitattaessa lomittuneeseen pariin kuuluvaa hiukkasta] kysymys on oleellisesti juuri niistä ehdoista, joiden mukaan määräytyvät systeemin tulevaa kehitystä koskevat mahdolliset ennusteiden tyypit. Koska nämä ehdot kuuluvat osana minkä tahansa sellaisen ilmiön kuvaukseen, johon ilmaisua "fysikaalinen todellisuus" voidaan asian­mukaisesti liittää, näemme, että mainitut kirjoittajat eivät ole esittäneet pätevää perustelua päätelmälleen, että kvantti­mekaaninen kuvaus olisi oleellisesti epä­täydellinen.^[12]

Kvanttimekaniikka ei myöskään ole "lokaallinen", mikä oleellisesti johtuu siitä, että systeemin tilaa esittää Hilbertin vektori ${\displaystyle |\psi \rangle }$, jolla on arvonsa avaruuden jokaisessa pisteessä, ${\displaystyle |\psi \rangle \to \psi (x,y,z)}$. Tässä tapauksessa Einstein oli siis selvästi väärässä, vaikka hän ei tarkasti määrittänytkään sen kvantti­mekaanisen formalismin seurauksia, jotka aiemmin oli jätetty huomioon ottamatta.

Myöhemmin monet teoreettiset fyysikot ovat esittäneet useita täysin toisistaan poikkeaviakin selityksiä sille, miksi Einsteinin, Podolskyn ja Rosenin todistelu ei ole pätevä.^[13]

Bellin teoreema

Vuonna 1964 John Bell todisti kuuluisan teoreemansa, joka osoittaa, että jos lokaaleja piilo­muuttujia on olemassa, tiettyjen lomittumista koskevien kokeiden tulokset toteuttavat Bellin epäyhtälön. Jos sen sijaan lomittumisesta aiheutuvia tilastollisia korrelaatioita ei voi selittää lokaaleilla piilo­muuttujilla, Bellin epäyhtälö ei toteudu. Toinen vastaavan­laisen tuloksen, jonka perusteella piilo­muuttujien olemassa­olo voidaan kokeellisesti selvittää, antaa Kochenin-Speckerin teoreema.

Alain Aspect, Paul Kwiat ja muutamat muut fyysikot ovat suorittaneet kokeita, jotka osoittivat, että nämä epäyhtälöt rikkoutuvat aina 242 standardipoikkeaman tasolle saakka,^[14] mikä merkitsee erin­omaista tieteellistä varmuutta. Täten kaikki lokaalit piilo­muuttuja­teoriat on osoitettu vääriksi, mutta ei-lokaalit piilo­muuttuja­teoriat ovat edelleen mahdollisia. Teoreettisesti voisi tosin olla kokeellisia ongelmia, jotka vaikuttavat tuloksen pätevyyteen.

Gerard 't Hooft on kyseen­alaistanut Bellin teoreeman pätevyyden superdeterminismin perusteella ja esittänyt ehdotuksia lokaaleiksi deterministisiksi malleiksi.^[15][16]

Bohmin piilomuuttujateoria

­

Katso myös: Pilottiaalto

Edellyttäen, että Bellin teoreema pitää paikkansa, jokaisen deterministisen piilo­muuttuja­teorian, joka on sovitettavissa yhteen kvantti­mekaniikan kanssa, on oltava ei-lokaalinen, mikä merkitsee, että se, mitä jossakin paikassa A tapahtuu, voi välittömästi ja samanaikaisesti vaikuttaa siihen, mitä toisessa paikassa B tapahtuu, ennen kuin paikasta A valon­nopeudella lähtetetty signaali ehtisi paikkaan B. Nykyisin tunnetuin tunnetuin piilomuuttujateoria, fyysikko ja filosofi David Bohmin alun perin vuonna 1952 julkaisema "kausaalinen" tulkinta, on ei-lokaalinen piilo­muuttuja­teoria. Bohm esitti laajennettuna oleellisesti saman idean, jonka Louis de Broglie oli hänen tietämättämään esittänyt jo vuonna 1927, mutta hylännyt, ja sen vuoksi teoriaa sanotaan yleisesti "de Broglien—Bohmin teoriaksi". Bohm oletti, että on olemassa sekä kvanttihiukkanen, esimerkiksi elektroni, että sen liikettä hallitseva kätketty ohjausaalto. Niinpä tämän teorian mukaan elektronit ovat selvästi hiukkasia — kun kaksoisrakokoe suoritetaan, kunkin elektronin liike­rata kulkee jomman­kumman raon kautta. Lisäksi rako, jonka kautta kukin elektroni kulkee, ei määräydy sattuman­varaisesti, vaan sitä ohjaa kätketty ohjaava aalto, mikä johtaa havaittuun aalto­kuvioon.

Tämä näkemys ei ole ristiriidassa sen kanssa, että paikalliset tapahtumat, joita käytetään sekä klassisessa atomi­teoriassa että suhteellisuusteoriassa, sillä Bohmin teoria, kuten kvantti­mekaniikkakin, on yhä lokaalisti kausaalinen, toisin sanoen informaation siirtoa rajoittaa yhä valonnopeus, mutta se sallii ei-lokaalit korrelaatiot. Se korostaa holistisempaa näkemystä maailmasta, jonka eri osat ovat riippuvaisia toisistaan ja vaikuttavat toisiinsa. Itse asiassa Bohm itse korosti kvantti­teorian holisista luonnetta viimeisinä vuosinaan, kun hän kiinnostui Jiddu Krishnamurtin ajatuksista.

Bohmin tulkinnan mukaan ei-lokaali kvanttipotentiaali sisältää oletuksen kätketystä järjestyksestä, joka ohjaa hiukkasia ja joka saattaa itse olla tulos jostakin toisesta pääteltävissä olevasta järjestyksestä, superimplikaattisesta järjestyksestä, joka organisoi kenttää.^[17] Nykyisin Bohmin teoriaa pidetään yhtenä monista kvantti­mekaniikan tulkinnoista, joka antaa kvantti­mekaanisille laskuille realistisen eikä vain positivistisen tulkinnan. Jotkut pitävät sitä yksin­kertaisimpana selityksenä kvantti-ilmiöille.^[18] Kuitenkin se väistämättä on luonteeltaan piilomuuttujateoria^[19] Bohmin teoriaa käsitellään perusteellisimmin hänen kirjassaan, jonka Basil Hiley julkaisi hänen kuolemansa jälkeen.^[20]

Mahdollisena heikkoutena Bohmin teoriassa on, että monet tutkijat kuten Einstein, Pauli ja Heisenberg ovat pitäneet sitä teennäisenä.^[21] Itse asiassa Bohm itsekin oli samaa mieltä teoriansa alku­peräisestä versiosta.^[22] Se oli tarkoituksella muotoiltu antamaan ennusteita, jotka kaikilta osin olivat yhtäpitävät tavan­omaisen kvantti­mekaniikan kanssa.^[22] Bohmin alkuperäisenä tarkoituksena ei ollutkaan tehdä vakavaa vasta­ehdotusta vaan ainoastaan osoittaa, että piilo­muuttuja­teoriat todella ovat mahdollisia.^[22] Täten se tarjosi vasta­esimerkin John von Neumannin kuuluisalle todistukselle, jonka oli yleisesti katsottu osoittavan, ettei mikään deterministinen teoria voi tuottaa kvantti­mekaniikan tilastollisia ennusteita. Bohm ilmoitti, ettei hän pitänyt teoriaansa hyväksyttävänä, koska se edellytti ohjaus­aaltojen olevan abstraktissa moni­ulotteisessa konfiguraatio­avaruudessa, ei normaalissa kolmi­ulotteisessa avaruudessa.^[22] Hän toivoi, että teoria johtaisi uusiin näkemyksiin ja kokeisiin, joiden tuloksena lopulta saataisiin hyväksyttävä teoria ^[22]; tarkoituksena ei siis ollut esittää determinististä, mekaanista näkemystä vaan osoittaa, että oli mahdollista esittää ajatuksia taustalla piilevän todellisuuden ominaisuuksista, mitä kvantti­mekaniikan tavan­omainen tulkinta ei salli.^[23]

Viimeaikainen kehitys

Huhtikuussa 2011 Manuel S. Morales esitti American Physical Societyn kokouksessa tutkimus­tuloksensa, jotka hän oli jo julkaissut saman vuoden tammikuussa.^[24][25] Hänen mukaansa oli olemassa yksi­selitteisiä kokeellisia todisteita absoluuttisesta determinismistä. Kaksitoista vuotta kestäneessä kokeessa, joka päättyi vuonna 2012^[26] Morales osoitti epäilyksettömästi, että kokeen tekijä ei voi vapaasti valita mittauksen asetuksia, koska ei ole ennalta olemassa sellaisia alku­ehtoja, jotka tekisivät mahdollista valita, suoritetaanko jokin koe suoraan yhdellä potentiaalilla vai epä­suorasti useammalla potentiaalilla. Kokeita käsittelevällä verkko­sivulla Morales totesi: "Valintatapahtumat voivat vain tulla olemaan, ja jotta se voisi tapahtua, niiden rakenteen on oltava luonnon sisäisten mekanismien ennalta määräämä. Tämä merkitsee, että kaksi toisensa pois­sulkevaa ja yhdessä kaiken kattavaa valinta­tekoa olisivat lokaaleja piilomuuttujia, ja niinpä nämä muuttujat eivät voi olla olemassa lokaalisti havaittavina tai mitattavina fysikaalisina tiloina. Toisin sanoen, miten teko tulee suoritetuksi, on ennalta määrätty. Sen sijaan teon olemassa­olo sinänsä ei ole ennalta määrätty. Osoittautuu, että Albert Einstein oli itse asiassa oikeassa käsityksessään piilomuuttujista, jotka tarjoisivat todellisuuden täsmällisemmän kuvauksen. Sen sijaan hän oli väärässä käsityksessään siitä, miten ne voitaisiin löytää."

Elokuussa 2011 Roger Colbeck ja Renato Renner julkaisivat todistuksen, että mikään kvantti­mekaniikan laajennus, käyttipä se piilo­muuttujia tai ei, ei voi antaa tarkempia ennusteita kokeiden tuloksille, edellyttäen että havaintojen tekijä voi vapaasti valita mittaus­menetelmät.^[27] Heidän mukaansa, mikäli mittausmenetelmät voidaan vapaasti valita, kvantti­teoria todella on täydellinen.^[27]

Tammikuussa 2013 Giancarlo Ghirardi ja Raffaele Romano julkaisivat mallin, joka olettamalla toisen­laisen käsityksen vapaasta valinnasta johtui tulokseen, joka kumosi Colbeckin ja Rennerin väitteen lähes kaikkien kaksi­jakoisten kaksi­tasoisten systeemien tilojen osalta tavalla, joka mahdollisesti on kokeellisesti osoitettavissa.^[28]

Käännös suomeksi

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Hidden variable theory

Lähteet

1. ”Einsteinin kirje Max Bornille 3.3.1947”, The Born-Einstein letters: correspondence between Albert Einstein and Max and Hedwig Born from 1916–1955, with commentaries by Max Born, s. 158. Macmillan, 1971. ”"Myönnän tietysti, että tilastollisessa lähestymis­tavassa, jonka Te ensimmäisenä totesitte nykyisen formalismin puitteissa välttämättömäksi, on paljon perää. En kuitenkaan voi vakavasti uskoa siihen, koska teoria ei sovi yhteen sen ajatuksen kanssa, että fysiikan pitäisi kuvata todellisuutta ajassa ja paikassa, ilman aavemaisia kauko­vaikutuksia. ... Olen täysin vakuuttunut siitä, että joku vielä tulee esittämään teorian, jonka lakien toisiinsa yhdistämät kohteet eivät ole toden­näköisyyksiä vaan tosi­asioita, niin kuin vielä melko äskettäin ilman muuta oletettiin.”
2. Albert Einsteinin kirje Max Bornille 4.12.1926 Albert Einstein Archives, reel 8, item 180.
3. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review, 1935, 47. vsk, nro 10, s. 777–780. doi:10.1103/PhysRev.47.777 Bibcode:1935PhRv...47..777E
4. Social influences on quantum mechanics?-I. The Mathematical Intelligencer, 2001, 23. vsk, nro 4, s. 15–17. doi:10.1007/BF03024596 Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}
5. Jokaisessa tietyllä välillä olevien pisteiden osa­joukossa jokaista pistettä kohti voidaan määrittää jokaisen argumentin arvo pisteen ympäristössä. Niinpä kokonaisuudessaan systeemin ajallinen kehitys jollakin aika­välillä voidaan esittää funktiona, joka suoraviivaisena tai kaareutuvana.
6. The Born-Einstein letters: correspondence between Albert Einstein and Max and Hedwig Born from 1916–1955, with commentaries by Max Born, s. 91. Macmillan, 1971.
7. Cache of the Einstein section of the American Museum of Natural History webcache.googleusercontent.com. Viitattu 26.8.2015.
8. Albert Einstein Archives reel 2, item 100
9. Jim Baggott: The Quantum Story: A History in 40 Moments, s. 116–117. New York: Oxford University Press, 2011.
10. Max Born ja Werner Heisenberg, "Quantum mechanics", viidennen Solvay-konferenssin asiakirjat.
11. Physics and Reality. Journal of the Franklin Institute, 1936, 221. vsk.
12. Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? Physical Review, 1935. doi:10.1103/physrev.48.696 Bibcode:1935PhRv...48..696B Artikkelin verkkoversio.
13. Heikki Oja, Osmi Vilhu: ”Einstein ja kvanttimekaniikan kehitys”, Albert Einstein, tutkija ja ihminen, s. 146. Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, 1979. ISBN 951-9269-07-X
14. Ultrabright source of polarization-entanglded photons. Physical Review, 1999, 60. vsk, nro R773-R776. Artikkelin verkkoversio.
15. The Free-Will Postulate in Quantum Mechanics G 't Hooft, Cornell University Library.
16. Entangled quantum states in a local deterministic theory G 't Hooft, Cornell University Library.
17. David Bohm and the Implicate Order. Sunrise magazine, helmi/maaliskuu 1993. Theosophical University Press. Artikkelin verkkoversio.
18. Misleading Signposts Along the de Broglie-Bohm Road to Quantum Mechanics. Foundations of Physics, 2010, 40. vsk, nro 4, s. 418–429. Artikkelin verkkoversio.^{[vanhentunut linkki]}
19. Quantum Information and Randomness. European Review, 2010, 18. vsk, nro 4, s. 469–480.
20. David Bohm, Basil Hiley: The Undivided Universe. Routlege, 1993. ISBN 0-415-06588-7 Teoksen verkkoversio.
21. On some early objections to Bohm's theory. International Studies in the Philosophy of Science, 2003, 17. vsk, nro 1, s. 8–24. doi:10.1080/02698590305233 Artikkelin verkkoversio. (Arkistoitu – Internet Archive)
22. David Bohm: Causality and Chance in Modern Physics, s. 110. Routledge & Kean Paul and D. Van Nostrand, 1957. ISBN 0-8122-1002-6
23. Some remarks on the evolution of Bohm's proposals for an alternative to quantum mechanics (pdf) bbk.ac.uk. 30.1.2010.
24. Physics of Pretermined Events Complementarity States of Choice-Chance Mechanics Manuel S. Morales, The General Science Journal.
25. Abstract: E13.00009 : PHYSICS OF PREDETERMINED EVENTS Manuel S. Morales, American Physical Society.
26. Tempt Destiny Experiment Results Manuel Morales, ResearchGate. doi:10.13140/RG.2.1.3304.9125/1
27. No extension of quantum theory can have improved predictive power. Nature Communications, 2011, 2. vsk, nro 8. doi:10.1038/ncomms1416 Bibcode:2011NatCo...2E.411C arXiv:1005.5173
28. Onthological models predictively inequivalent to quantum theory. Physical Review Letters, 2013. doi:10.1103/PhysRevLett.110.170404 Bibcode:2013PhRvL.110q0404G arXiv:1301.2695

Kirjallisuutta

• Albert Einstein, Boris Podolsky, Nathan Rosen: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Phys. Rev., 1935, 47. vsk, s. 777–780.
• John Stewart Bell: On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox. (Julkaistu uudestaan teoksessa Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press 2004) Physics, 1964, 1. vsk, s. 195–200.
• David Bohm, B. J. Hiley: The Undivided Universe. Routledge, 1993.
• K. V. Laurikainen: ”Wolfgang Paulin kirje M. Fierzille 10.8.1954”, Beyond the Atom: The Philosophical Thought of Wolfgang Pauli, s. 226. Berliini: Springer-Verlag, 1988.
• Werner Heisenberg: Physics and Beyond: Encounters and Conversations, s. 63–64. Kääntänyt A. J. Pomerans. New York: Harper & Row, 1971.
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Mecanique quantique. Pariisi: Hermann, 1977.
• P. S. Hanle: Indeterminacy before Heisenberg: The Case of Franz Exner and Erwin Schrödinger. Hist. Stud. Phys. Sci, 1979, 10. vsk, nro 225.
• Asher Peres & Wojciech Zurek: Is quantum theory universally valid. Am. J. Phys, 1982, 50. vsk, nro 807.
• Max Jammer, P. Lahti (toim.), P. Mittelstaedt (toim.): ”The EPR Problem in Its Historical Development”, Symposium on the Foundations of Modern Physics: 50 years of the Einstein-Podolsky-Rosen Gedankenexperiment, s. 129–149. Singapore: World Scientific, 1985.
• Arthur Fine: The Shaky Game: Einstein Realism and the Quantum Theory. Chicago: University of Chicago Press, 1986.
• Thomas Kuhn: Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912. Chicago University Press, 1987.
• Asher Peres: Quantum Theory: Concepts and Methods. Dordrecht: Kluwer, 1993.
• Carlton M. Caves, Christopher A. Fuchs: Quantum Information: How Much Information in a State Vector? (Kirjoitussarjassa The Dilemma of Einstein, Podolsky and Rosen – 60 Years Later, toimittaneet A. Mann ja M. Revzen) Ann. Israel Phys Soc., 1996, 12. vsk, s. 226–257.
• Carlo Rovelli: Relational quantum mechanics. International Journal of Theoretical Physics, 1996, 35. vsk, s. 1637–1678.
• Roland Omnès: Understanding Quantum Mechanics. Princeton University Press, 1999.
• Roman Jackiw & Daniel Kleppner: One Hundred Years of Quantum Physics. Science, 2000, 289. vsk, nro 5481.
• Orly Alter & Yoshiuhisa Yamamoto: Quantum Measurement of a Single System, s. 136. Wiley-Interscience, 2001. doi:10.1002/9783527617128 ISBN 978-047128308-9 Teoksen verkkoversio. (Arkistoitu – Internet Archive)
• Erich Joos ym.: Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory. 2. painos. Berliini: Springer, 2003.
• Wojciech Zurek: Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classical. Reviews of Modern Physics, 2003, 75. vsk, nro 715.
• Asher Peres & Daniel Terno: Quantum Information and Relativity Theory. Rev. Mod. Phys, 2004, 76. vsk, nro 93.
• Roger Penrose: The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Alfred Knopf, 2004.
• Maximilian Schlosshauer: Decoherence, the Measurement Problem, and Interpretations of Quantum Mechanics. Reviews of Modern Physics, 2005, 76. vsk, s. 1267–1305.
• Federico Laudisa & Carlo Rovelli: ”Relational Quantum Mechanics”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Stanford University Press, 2005.
• Marco Genovese: Research on hidden variable theories: a review of recent progresses. Physics Reports, 2005, 413. vsk.
• Manjit Kumar: Quantum; Einstein, Bohr and the Great Debate about the nature of reality. Icon Books, 2009. ISBN 978-184831-035-3

Aiheesta muualla

• The David Bohm Society (Arkistoitu – Internet Archive)