Pisteprosessi

Pisteprosessi on matemaattinen malli, jossa käsiteltävä ilmiö muodostuu pisteittäisistä havainnoista, esimerkiksi maastossa olevien puulajien sijainneista. Pisteprosessien avulla yritetään oppia systeemin tilajärjestyksestä käyttämällä yksittäisten havaintojen tuomaa informaatiota hyväksi. Pisteprosessiteoria on osa yleisempää stokastisen geometrian teoriaa.

Huom: Pisteprosessilla voidaan myös tarkoittaa aikaparametrisoitua stokastista prosessia, jolloin satunnaismuuttujan tila-avaruus on spatiaalisen avaruuden (dimensio >1) sijaan esimerkiksi reaaliakseli. Tätä tulkintaa noudatetaan englanninkielisen wikipedian artikkelissa.

Määritelmä

Olkoon ${\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {P} ]}$ toden­näköisyys­avaruus. Määritellään yksinkertaisten reaalilukujen jonojen joukko ${\displaystyle \mathbb {D} :=\{\{x_{n}\}:x_{n}\in \mathbb {R} ^{d},x_{n}\neq x_{m}\ {\textrm {kun}}\ n\neq m,\#\{A\cap \{x_{n}\}\}<\infty ,A\ {\textrm {rajoitettu}}\}}$, jossa leikkausominaisuus määrittelee niin sanotun lokaalin äärellisyyden. Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {D}}:=\sigma (\mathbb {D} )}$ tästä joukosta muodostettu sigma-algebra, ja määritellään kuvaus

${\displaystyle \varphi :\Omega \longrightarrow \mathbb {D} }$.

Kuvaus ${\displaystyle \phi }$ on pisteprosessi, jos se on ${\displaystyle [\Omega ,{\mathcal {F}}]-[\mathbb {D} ,{\mathcal {D}}]}$ -mitallinen, ts. jos

${\displaystyle \varphi ^{-1}(Y):=\{\omega \in \Omega :\varphi (\omega )\in Y\}\in {\mathcal {F}}}$

kaikilla ${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}}}$.

Tulkinta

Pisteprosessilla ${\displaystyle \phi }$ on kaksi tulkintaa:

1. ${\displaystyle \varphi }$ on satunnainen joukko, eli ${\displaystyle x\in \varphi (\omega )\Leftrightarrow x}$ kuuluu satunnaiseen jonoon ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.

2. ${\displaystyle \varphi }$ on satunnainen laskentamitta, eli kaikille Borel-joukoille ${\displaystyle |\varphi (B)|=n\Leftrightarrow B}$ sisältää ${\displaystyle n}$ pistettä prosessista ${\displaystyle \varphi }$.

Pisteprosessien yhteydessä määritellään käsitteet stationaarisuus ja isotrooppisuus, joista ensimmäinen kuvaa pisteiden jakauman siirtoriippumattomuutta ja jälkimmäinen kuvaa riippumattomuutta suunnan (kierron) suhteen.

Pisteprosessit voidaan myös laajentaa merkkisiin tapauksiin lisäämällä sijaintitietojen ${\displaystyle x_{n}}$ rinnalle merkkitieto ${\displaystyle m_{n}}$, jolloin saadaan uusi prosessi, niin sanottu merkkinen pisteprosessi ${\displaystyle \psi =[\{x_{n}\},\{m_{n}\}]}$.

Perustyökaluja

Pisteprosessi ja K-funktion estimaatti. Katkoviivalla merkittyyn täysin satunnaiseen tilaan verrattuna voidaan nähdä, että kyseinen pisteprosessi sisältää lyhyillä etäisyyksillä repulsiivista käyttäytymistä.

Pisteprosessien tilajärjestyksen tutkimiseen on kehitetty useita eri työkaluja, ja niistä useimmin käytettyjä ovat seuraavat datasta estimoitavat (stationaarisessa tapauksessa):

1. Intensiteetti ${\displaystyle \lambda }$, joka kuvaa pisteiden keskimääräistä lukumäärää pinta-alayksikköä kohden.

2. ${\displaystyle K(r)}$-funktio, joka kuvaa pisteiden lukumäärän jakautumista ${\displaystyle r}$-säteisessä pallossa, kun pallon keskipisteenä on satunnainen prosessin piste.

3. ${\displaystyle H_{s}(r)}$-funktio, joka kuvaa tyhjän tilan jakautumista prosessissa huomioimalla ${\displaystyle r}$-säteiseen palloon osuvat pisteet keskipisteen ollessa satunnaisessa alueen pisteessä.

4. ${\displaystyle D_{k}(r)}$-funktio, joka on jakauma ${\displaystyle k}$:nnen naapurin etäisyydelle.

Jokaisesta em. funktiosta on monia eri versioita, esimerkiksi reunakorjattuja versioita jotka ottavat havaintoalueen rajallisuuden huomioon.

Datan pikaisessa tutkimisessa tulkinta funktioiden antamasta kuvaajasta tehdään vertaamalla kuvaajan muotoa täydellisen satunnaisuuden tilaan eli Poisson-prosessin tuottamaan vastaavaan funktion arvoon.

Katso myös

Todennäköisyys

Lähteet

Stoyan, Kendall, Mecke: Stochastic geometry and its Applications. Wiley 1995