Polku (topologia)

Polkuyhtenäinen avaruus (vihreällä) ja kaksi polun yhdistämää pistettä.

Polku on topologian käsite, joka kuvaa yhteyttä kahden pisteen välillä jossakin topologisessa avaruudessa. Täsmällisemmin määriteltynä polku pisteestä ${\displaystyle a}$ pisteeseen ${\displaystyle b}$ avaruudessa ${\displaystyle S}$ on sellainen jatkuva kuvaus

${\displaystyle f:[0,1]\to S,}$

että ${\displaystyle f(0)=a}$ ja ${\displaystyle f(1)=b}$.^[1] Tällöin ${\displaystyle a}$ on polun alkupiste, ${\displaystyle b}$ on sen loppupiste, ja polku yhdistää pisteet ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$.^[2][3]

Intuitiivisesti voi ajatella, että polkufunktion argumentti on aikakoordinaatti ${\displaystyle t}$, ja funktio kuvaa pisteen ${\displaystyle f(t)}$ liikkumista käyrää pitkin ajan kuluessa. Alkuhetkellä ${\displaystyle t=0}$ piste on polun alkupisteessä ${\displaystyle f(0)}$, ja liikkuu sitten jotakin käyrää (polkufunktion kuvajoukkoa) pitkin jatkuvasti, ilman hyppäyksiä, kunnes loppuhetkellä ${\displaystyle t=1}$ se on polun loppupisteessä ${\displaystyle f(1)}$.^[4]

Koska reaalilukuväli ${\displaystyle [0,1]}$ on yhtenäinen, niin jatkuva kuvaus ${\displaystyle f}$ kuvaa sen yhtenäiseksi joukoksi maaliavaruudessa ${\displaystyle S}$.^[3] Niinpä polun yhdistämät pisteet kuuluvat samaan yhtenäiseen komponenttiin (intuitiivisesti: yhtenäinen aliavaruus ei voi ulottua epäyhtenäisessä avaruudessa olevan ”aukon” yli^[2]). Topologinen avaruus on polkuyhtenäinen, jos sen minkä tahansa kahden pisteen välillä on olemassa polku. Topologian perustuloksiin kuuluu, että jos avaruus on polkuyhtenäinen, niin se on myös yhtenäinen. Käänteinen ei päde: on olemassa yhtenäisiä avaruuksia, jotka eivät kuitenkaan ole polkuyhtenäisiä. Klassinen esimerkki on topologin sinikäyrä.^[2][5]

Lähteet

1. Path Encyclopedia of Mathematics. Springer & European Mathematical Society. Viitattu 29.9.2020. (englanniksi)
2. Ojanperä, Arttu (Eero Hyryn luentojen mukaan): Topologia (Luentomateriaali. Sivut 60–63) 2013. Tampereen yliopisto, Informaatiotieteiden yksikkö. Arkistoitu 5.1.2023. Viitattu 1.10.2020.
3. Parkkonen, Jouni: Metriset avaruudet ja Topologia (Luentomateriaali. Sivut 64–65) 2018. Jyväskylän yliopisto. Arkistoitu 5.1.2023. Viitattu 1.10.2020.
4. Freiwald, Ronald C.: An Introduction to Set Theory and Topology, s. 221–225. Saint Louis, Missouri: Washington University in St. Louis, 2014. ISBN 978-1-941823-10-1 Teoksen verkkoversio (viitattu 1.10.2020). (englanniksi)
5. Barile, Margherita: Topologist's Sine Curve MathWorld. Wolfram Research. Viitattu 1.10.2020. (englanniksi)