Polkuyhtenäisyys

Polkuyhtenäisyys on matemaattinen termi. Se on topologinen käsite vastaavasti kuin yhtenäisyyskin on. Polkuyhtenäinen avaruus ${\displaystyle X\,\!}$ on sellainen topologinen avaruus, jossa avaruuden mitä tahansa pistepareja voidaan yhdistää polulla kyseisessä avaruudessa ${\displaystyle X\,\!}$. Topologiassa polku on jatkuva kuvaus suljetulta väliltä ${\displaystyle \left[{0,1}\right]\,\!}$ avaruuteen ${\displaystyle X\,\!}$.

Polkuyhtenäisyyden määritelmä

Polku ${\displaystyle {f:[0,1]\rightarrow X}\,\!}$ yhdistää ${\displaystyle X:n\,\!}$ pisteet ${\displaystyle f(0)=x\,\!}$ ja ${\displaystyle f(1)=y\,\!}$, joita sanotaan maaliavaruudessa polun ${\displaystyle f\,\!}$ päätepisteiksi. Topologinen avaruus ${\displaystyle X\,\!}$ on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari ${\displaystyle x,y\in X\,\!}$ voidaan yhdistää polulla avaruudessa ${\displaystyle X\,\!}$.

Lauseita

Polkuyhtenäisyys vs. yhtenäisyys

Polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. Yhtenäistä avaruutta ei voida jakaa kahteen erilliseen, epätyhjään, avoimeen osajoukkoon. Polkuyhtenäisyys on vahvempi avaruuden ominaisuus kuin yhtenäisyys. Polkuyhtenäisyydestä välttämättä seuraa heti yhtenäisyys.

"Havaijilaiset korvarenkaat" ovat polkuyhtenäinen joukko.

Topologin sinikäyrä on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen, sillä origoa ei voi yhdistää polulla käyrän muihin pisteisiin.

Yhtenäinen avaruus ei aina ole polkuyhtenäinen. On avaruuksia, jotka ovat kyllä yhtenäisiä, mutta eivät ole kuitenkaan polkuyhtenäisiä. Sellainen on esimerkiksi topologin sinikäyrä, jonka muodostavat origo sekä funktion ${\displaystyle \sin {\frac {1}{x}}}$ kuvaajan y-akselin oikealla puolella oleva osa.

Jatkuva kuvaus

Polkuyhtenäisyys on topologinen ominaisuus, joka säilyy jatkuvissa kuvauksissa. Jotkut avaruuksien ominaisuuksista eivät muutu lainkaan jatkuvassa kuvauksessa.

Polkuyhtenäinen ympäristö

Polkuyhtenäisessä avaruudessa ${\displaystyle X\,\!}$ on sellainen ominaisuus, että sen jokaisella pisteellä on polkuyhtenäinen ympäristö ${\displaystyle U\,\!}$.

Väli ${\displaystyle \left[0,1\right]\subset \mathbb {R} \,\!}$ on polkuyhtenäinen. Silloin jokaisella kyseisen välin pisteellä ${\displaystyle x\in \left[0,1\right]\,\!}$ on olemassa polkuyhtenäinen ympäristö ${\displaystyle U\subset \left[0,1\right]\,\!}$. Ympäristö on topologiassa määritelty avoimeksi joukoksi.

Lisäesimerkkejä

Polkuyhtenäinen avaruus "Kampa" koostuu seuraavista osajoukoista: y-akselilta väli ${\displaystyle \left[0,1\right]\,\!}$, x-akselilta väli ${\displaystyle \left[0,1\right]\,\!}$ sekä x-akselin suuntaiset janat ${\displaystyle y={\frac {1}{n}}\,\!}$, kun n on luonnollinen luku ja ${\displaystyle x\in \left[0,1\right]\,\!}$

"Kampa" on polkuyhtenäinen avaruus

Reaalilukujen joukko ${\displaystyle {\mathbb {R} }\,\!}$ on polkuyhtenäinen.

Suljettu väli ${\displaystyle {[-6,1]\subset \mathbb {R} }\,\!}$ on polkuyhtenäinen.

Yksiö ${\displaystyle {{\big \{}{4}{\big \}}\subset \mathbb {R} }\,\!}$ on polkuyhtenäinen.

Yhdiste ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )\subset \mathbb {R} \,\!}$ ei ole polkuyhtenäinen, eikä yhtenäinen.

Avaruus ${\displaystyle X=\left\{(x,\sin {\frac {1}{x}}):0<x\leqq 1\right\}\cup \left\{(0,0)\right\}\,\!}$ on yhtenäinen, mutta ei ole polkuyhtenäinen.

Muutetaan vähän äskeisen esimerkin avaruutta ${\displaystyle X\,\!}$:

Avaruus ${\displaystyle X=\left\{(x,x\sin {\frac {1}{x}}):0<x\leqq 1\right\}\cup \left\{(0,0)\right\}\,\!}$ on yhtenäinen ja erityisesti se on polkuyhtenäinen.

Katso myös

• Yhtenäisyys

Lähteet

• Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
• Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2004.
• Väisälä, Jussi: Topologia II. Helsinki: Limes ry, 2005.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7
• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2