Tasakylkinen puolisuunnikas

Tasakylkinen puolisuunnikkaan tavallisimmat suureet.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan symmetrialinja.

Tasakylkinen puolisuunnikas on geometriassa nelikulmainen monikulmio, jossa on kaksi yhdensuuntaista sivua ja kaksi muuta erisuuntaista sivua (eli kylkeä), jotka ovat saman pituiset. Kahden sivun yhdensuuntaisuudesta johtuen kuvio luokitellaan puolisuunnikkaaksi, mutta tasakylkisyytensä vuoksi se on siitä erikoistapaus. Kuvio on symmetrinen, ja se esiintyy tämän takia monissa arjen tilanteissa.^[1][2]

Tasakylkinen puolisuunnikas kuuluu yksinkertaisiin ja konveksisiin nelikulmioihin. Sen ympäri voidaan piirtää ympyrä niin, että kehä kulkee kaikkien kärkien kautta. Sen sisäpuolelle ei välttämättä pysty piirtämään ympyrää niin, että se sivuaisi sen kaikkia sivuja sisäpuolelta. Tämän vuoksi se on ainoastaan syklinen.

Nimityksiä

Tasakylkinen puolisuunnikas on kuin katkaistu tasakylkinen kolmio, jossa kolmion kärki on leikattu kannan suuntaisella vedolla pois. Puolisuunnikkaalla on kyljet, jotka ovat yhtä pitkät. Samoin kantakulmat ovat tasakylkisyydestä johtuen yhtä suuret. Puolisuunnikkaan yhdensuuntaiset sivut ovat sen kantoja ja kantojen välistä etäisyyttä kutsutaan korkeudeksi. Kylkien keskipisteiden välinen jana on mediaani, kuten on myös kantojen keskipisteiden välinen jana.^[1][3]

Erityispiirteitä

Puolisuunnikas on tasakylkinen puolisuunnikas jos ja vain jos

• sen molempien kantojen kantakulmat ovat kummallakin erikseen yhtä suuret.^[1][4][5]
• sen kyljet ovat yhtä pitkät (määritelmä).^[1]
• sen lävistäjät ovat saman pituiset.^[6][5]
• sen lävistäjät jakavat toisensa osiin, joiden vastinosat ovat molemmissa lävistäjissä samat.^[5]
• sen vastakkaiset kulmat ovat suplementtiset eli niiden summa on 180°. Tämä tekee siitä myös syklisen nelikulmion.^[6][7][5]
• sen kannan molemmat kantakulmat ovat samat.
• sen kantojen keskipisteet yhdistävä jana on kohtisuorassa kantojen kanssa.

Tasakylkinen puolisuunnikas on symmetrinen kantojen keskipisteiden kautta kulkevan akselin suhteen. Silloin

• sen ympäri piirretyn ympyrän keskipiste sijaitsee akselilla.
• lävistäjät leikkaavat toisensa akselilla.
• painopiste sijaitsee akselilla.^[8]
• symmetria-akseli jakaa sen alaltaan ja muodoltaan samanlaiseen suorakulmaiseen puolisuunnikkaaseen.^[9]

Ominaisuuksia

Tasakylkisen puolisuunnikkaan kulmat.

Osa kaavoista on puolisuunnikkaan tai syklisen nelikulmion kaavoista johdettuja sijoittamalla yleisempään kaavaan sen suureiden (pilkulla merkityt) tilalle tasasivuisen puolisuunnikkaan suureet ( eli ${\displaystyle a'=a,b'=c,c'=b,d'=c}$)

Kulmat

Konveksin nelikulmion (kulmien lukumäärä n = 4) sisäkulmien summa on

${\displaystyle S=(n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }.}$ ^[10]

Merkitään aluksi kulma ${\displaystyle \measuredangle }$A = α ja muut kulmat aakkosittain vastaavalla tavalla. Koska tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen, on vastakkaisten kulmien summa eli α + γ = β + δ = 180°. Symmetrisyydestä seuraa, että yhdensuuntaisten sivujen kantakulmat ovat samat eli α = β ja γ = δ. Yhdensuuntaisuudesta seuraa vielä sekin, että sivun ulkokulma on yhtä suuri kuin vastaisen sivun kantakulma.^[5]

Tämän vuoksi kulmion kulmat merkitään vastedes vain kulmilla α (sivun a kantakulmat) ja β (sivun b kantakulmat). Lävistäjät jakavat nämä kulmat kahteen osaan, jotka eivät ole yhtä suuria. Kulmat α jakaantuvat kulmiin α₁ ja α₂ eli α = α₁ + α₂. Samoin tekevät kulmat β = β₁ + β₂.

Koska kulmio on syklinen, voidaan kehäkulmalauseella karsia eri suuruisten kulmien lukumäärää edelleen. Kärjessä A oleva kulma α₁ on kehäkulma jänteelle BC. Samalle jänteelle BC on myös kehäkulmana kulma β₂, joten näiden on oltava saman suuruisia eli α₁ = β₂ (kuviossa Figure 1 on ne jo korvattu).

Koska kulmio on syklinen, voidaan sisäkulman suuruus laskea

${\displaystyle \tan {\tfrac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(s-a')(s-d')}{(s-b')(s-c')}}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {\frac {(s-a){\cancel {(s-c)}}}{{\cancel {(s-c)}}(s-b)}}}={\sqrt {\frac {(s-a)}{(s-b)}}},}$ ^[11]

missä s on alempana esiteltävä puolipiiri.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan janat.

Sivut

Tasakylkisyydestä seuraa, että yhdensuuntaisten sivujen a ja b väliin jäävät yleensä erisuuntaiset kyljet, jotka ovat nyt yhtä pitkät c. Jos kyljet ovat yhdensuuntaiset, muuttuu kuvio suunnikkaaksi. Samoin käy, jos yhdensuuntaiset sivut a ja b ovat yhtä pitkät.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan piiri p lasketaan

${\displaystyle p=(a'+b'+c'+d')=a+b+2c.}$

Kylkien c sijasta tunnetaankin korkeus, voidaan piirin pituus esittää

${\displaystyle p=a+b+({\tfrac {2h}{\sin \alpha }}),}$ ^[12]

missä α on kantakulma. Piiristä saadaan puolipiiri s puolittamalla se

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c).}$

Lävistäjät

Yksinkertaisessa nelikulmiossa on aina ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}={\tfrac {4(4-3)}{2}}=2}$ lävistäjää, jotka ovat AC ja BD. Lävistäjät ovat symmetrian johdosta yhtä pitkät ja tässä pituutta on merkitty kirjaimella d. Lävistäjät leikkaavat pisteessä L, joka sijaitsee symmetria-akselilla.

Lävistäjien väliin syntyy kaksi kolmiota: ${\displaystyle \Delta ABL}$ ja ${\displaystyle \Delta CDL}$. Kolmiossa ABL ovat molemmat kantakulmat samat sekä sen huippukulma ristikulmana sama kuin vastinkolmiossa CDL. Kolmiot ovat siten yhdenmuotoiset ja sivujen pituudet suhtautuvat kuten kannatkin eli a : b. Leikkauspiste jakaa myös lävistäjät osiin p ja q siten, että a : b = p : q. Piste L jakaa myös korkeusjanan h osiin samassa suhteessa.

Lävistäjän pituuden voi laskea Pythagoraan lauseella, kun hypotenuusana on lävistäjä d, kateettina korkeus h ja toisena kateettina lävistäjän alle jäävä osa pitemmästä kannasta. Tämä osa lasketaan

${\displaystyle a-{\tfrac {a-b}{2}}={\tfrac {a+b}{2}},}$

jolloin lävistäjäksi saadaan

${\displaystyle d^{2}=({\tfrac {a+b}{2}})^{2}+h^{2}}$

eli

${\displaystyle d={\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(a+b)^{2}+h^{2}}}.}$ ^[13]

Koska tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen, voidaan lävistäjä määrittää myös syklisen nelikulmion tapaan

${\displaystyle d={\sqrt {(a'c'+b'd'){\frac {a'b'+c'd'}{a'd'+b'c'}}}}={\sqrt {(ab+cc){\frac {\cancel {ac+bc}}{\cancel {ac+cb}}}}}={\sqrt {ab+c^{2}}}.}$ ^[14]

Muita mittoja

Kulmion korkeus voidaan laskea Pythagoraan lauseella

${\displaystyle h={\sqrt {d^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$ ^[15]

Mediaanin, jolla tarkoitetaan tässä kylkien keskipisteet yhdistävää janaa, pituus on

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$ ^[16]

eli janojen a ja b keskiarvo.

Pinta-alan yleisesti tunnettu lauseke on

${\displaystyle A={\frac {a+b}{2}}h=mh.}$ ^[16]

Pinta-ala voidaan laskea myös

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a')(s-b')(s-c')(s-d')}}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}$ ^[17]

mikä tunnetaan Brahmaguptan kaavana.

Ulkoympyrä

Tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen ja sen ympäröivän ympyrän säde on

${\displaystyle R={\frac {(a'b'+c'd')(a'c'+b'd')(a'd'+b'c')}{4A}}={\frac {(ac+bc)(ab+cc)(ac+cb)}{4A}}}$

${\displaystyle ={\frac {c^{2}(a+b)^{2}(ab+c^{2})}{4A}}=\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}{\frac {c^{2}d^{2}}{A}},}$ ^[11]

missa ${\displaystyle A}$ on pinta-ala ja ${\displaystyle d}$ on lävistäjä.

Konstruointi

Eräs tapa konstruoida tasakylkinen puolisuunnikas on piirtää ensin kanta. Kantakulman piirtämisen jälkeen se kopioidaan samansuuruisena janan toiseen päähän. Kantakulmien määräämiä kylkiä jatketaan ja katkaistaan samasta kohtaa. Katkaisukohdat yhdistetään toisella kantaviivalla, joka on yhdensuuntainen.^[18] On olemassa monia muitakin tapoja piirtää tasakylkinen puolisuunnikas.^[19]

Lähteet

1. Weisstein, Eric W.: Isosceles Trapezoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
2. Weisstein, Eric W.: Trapezoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
3. Math Open Reference: Trapezoid
4. King, James: Trapezoids, Univercity of Washington, Seattle, USA
5. Ryan, Mark: The Properties of Trapezoids and Isosceles Trapezoids, Geometry for Dummies
6. de Villiers, Michael: The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals (Arkistoitu – Internet Archive), s. 15–16 Perspectives in Education, 2003
7. Weisstein, Eric W.: Cyclic Quadrilateral (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
8. eFunda: Isosceles Trapezoid, eFunda, Inc.
9. Planet Math: Isosceles trapezoid
10. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 22–25. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
11. Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste, s. 151) Geometry. 1998. Florida Atlantic University. Arkistoitu 2.3.2019. Viitattu 25.9.2013.
12. eFunda: Trapezoid, eFunda, Inc.
13. Math Center: Diagonal of Isoscleles trapezoid
14. http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/
15. Math Open Reference: Area of a trapezoid
16. Math Open Reference: Median of a trapezoid
17. Yiu, P.: Euclidean Geometry (luentomoniste, s. 147–148) Geometry. 1998. Florida Atlantic University. Arkistoitu 2.3.2019. Viitattu 25.9.2013.
18. Konstruktio nro 1 (Arkistoitu – Internet Archive)
19. GeoGebra: Konstruktio nro 2^{[vanhentunut linkki]}

Aiheesta muualla

• iCoachMath: Isosceles Trapezoid
• van Tienhoven, Chris: Encyclopedia of Quadri-Figures