Toisen kertaluvun derivaatta

Differentiaali- ja integraalilaskennassa funktion ƒ derivaattafunktion derivaattaa sanotaan funktion ƒ toisen kertaluvun derivaataksi. Myös nimitys toinen derivaatta on yleisesti käytössä. Funktion toisen kertaluvun derivaatalla voidaan muun muassa tutkia funktion kuvaajan kaarevuutta ja sen derivaatan nollakohtien luonnetta. Toisen kertaluvun derivaatan fysikaalisista sovelluksista voidaan mainita esimerkiksi kappaleen kiihtyvyyden määrittäminen. Kappaleen nopeus on sen paikan derivaatta ajan suhteen. Kiihtyvyys on kappaleen nopeuden derivaatta ajan suhteen. Siten kiihtyvyys on paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan suhteen. Funktion korkeamman kertaluvun derivaattojen tuntemista hyödynnetään myös monissa funktion approksimaatio-menetelmissä, kuten esimerkiksi Taylorin sarjassa.

Merkinnät

Funktion ${\displaystyle f(x)\!}$ toisen kertaluvun derivaatta merkitään yleensä ${\displaystyle f''(x)\!}$, jossa

${\displaystyle f''=(f')'\!}$

Muita käytettyjä merkintöjä ovat:

${\displaystyle y''=f''(x)={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=D_{x}^{2}y=D_{x}^{2}f(x).}$

Esimerkki

Olkoon

${\displaystyle f(x)=x^{3}.\!}$

Funktion ƒ derivaatta on funktio

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.\!}$

Funktion ƒ toisen kertaluvun derivaatta on funktion ƒ′ derivaatta

${\displaystyle f''(x)=6x.\!}$

Suhde kuvaajaan

Funktion ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ kuvaaja välillä ${\displaystyle [-\pi /4,5\pi /4]}$. Tangenttisuora on sininen, kun käyrä on kupera alaspäin, vihreä, kun käyrä on kupera ylöspäin, ja punainen käännepisteissä (0, ${\displaystyle \pi }$/2, and ${\displaystyle \pi }$).

Kaarevuus

Funktion ƒ toisen kertaluvun derivaatta mittaa sen kuvaajan kaarevuutta. Funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on kupera alaspäin eli jokainen sen käyrälle piirretty tangentti on, sivuamispistettä lukuun ottamatta, käyrän alapuolella. Vastaavasti, funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on negatiivinen, on kupera ylöspäin eli jokainen sen käyrälle piirretty tangentti on käyrän yläpuolella.

Käännepiste

Pääartikkeli: Käännepiste

Pistettä, jossa funktion toisen kertaluvun derivaatan merkki vaihtuu, kutsutaan käänne­pisteeksi. Käännepisteessä funktion kuvaajan kaarevuussuunta vaihtuu. Jos funktion toisen kertaluvun derivaatta on jatkuva käännepisteessä, sen on oltava 0. Toisen kertaluvun derivaatan nollakohta ei kuitenkaan ole riittävä ehto käännepisteelle.

Toisen kertaluvun derivaatan testi

Funktion toisen kertaluvun derivaatan testillä voidaan tietyissä olosuhteissa selvittää funktion derivaatan nollakohdan luonne. Olkoon ${\displaystyle f'(x_{0})=0\!}$. Jos

• ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x_{0})<0}$, funktiolla ${\displaystyle \ f}$ on paikallinen maksimi pisteessä ${\displaystyle \ x_{0}}$.
• ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x_{0})>0}$, funktiolla ${\displaystyle \ f}$ on paikallinen minimi pisteessä${\displaystyle \ x_{0}}$.
• ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x_{0})=0}$, funktiolla ${\displaystyle \ f}$ voi olla pisteessä ${\displaystyle \ x_{0}}$ joko paikallinen maksimi, paikallinen minimi tai käännepiste.

Raja-arvo

Jos funktiolla ${\displaystyle \ f}$ on pisteessä ${\displaystyle \ x_{0}}$ olemassa toisen kertaluvun derivaatta, se voidaan esittää raja-arvona:

${\displaystyle f''(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x_{0}+h)-f'(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+2h)-2f(x_{0}+h)+f(x_{0})}{h^{2}}}.}$

Approksimointi

Pääartikkeli: Taylorin sarja

Funktion approksimointiin voidaan käyttää erilaisia esimerkiksi korkeampia derivaattoja käyttäviä polynomeja taikka potenssi­sarjoja. Eräät esimerkit tällaisista ovat Taylorin polynomi ja Taylorin sarja.

Funktion toisen asteen Taylorin polynomi pisteessä ${\displaystyle \ x_{0}}$ on:

${\displaystyle T_{2}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2}}(x-x_{0})^{2}.}$

Maclaurinin polynomi on Taylorin polynomin erikoistapaus, jossa kehityskeskus on origo:

${\displaystyle T_{2}(x)=f(0)+f'(0)(x)+{\frac {f''(0)}{2}}(x)^{2}.}$

Taylorin sarja on yksinkertaistettu versio potenssisarjasta. Taylorin sarjalla funktiolle saadaan seuraava sarjakehitelmä:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}.}$

Edellisessä ! tarkoittaa kertomaa ja ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}$ funktion ${\displaystyle \ f}$ n:ttä derivaattaa. Maclaurinin sarja on Taylorin sarjan erikoistapaus, jossa kehityskeskus on origo.

Kiihtyvyys

Pääartikkeli: Kiihtyvyys

Tarkastellaan objektia, joka liikkuu suoralla (esimerkiksi x-akselilla). Sen paikka ${\displaystyle \ x}$ saadaan ajan funktiosta ${\displaystyle x=s(t)}$. Keski­nopeudeksi ${\displaystyle v_{avg}}$ aikavälillä ${\displaystyle [t,t+h]}$ saadaan

${\displaystyle v_{avg}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {s(t+h)-s(t)}{h}}.}$

Nopeus ${\displaystyle v(t)}$ ajanhetkellä ${\displaystyle \ t}$ on tämän keskinopeuden raja-arvo, kun ${\displaystyle \ h\to 0}$. Siten

${\displaystyle v(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {s(t+h)-s(t)}{h}}=s'(t).}$

Nopeus ajanhetkellä ${\displaystyle \ t}$ on siis paikan derivaatta ajan suhteen. Tämän derivaatan arvo voi olla luonnollisesti myös nolla tai negatiivinen, joten nopeus kertoo myös liikesuunnan.

Derivoimalla edelleen nopeus ajan suhteen saadaan objektin kiihtyvyys ajanhetkellä ${\displaystyle t}$

${\displaystyle a(t)={\frac {\Delta v}{\Delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {s'(t+h)-s'(t)}{h}}=s''(t).}$

Kiihtyvyys on siis paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan suhteen.

Katso myös

• Derivaatta
• Käännepiste
• Taylorin sarja

Lähteet

• Adam, Robert A.: Calculus: A Complete Course. 4. painos. Ron Doleman, 1999. ISBN 0-201-39607-6 (englanniksi)
• Käyrän kuperuus. Internetix-materiaalit. Internetix-materiaalit Standardin verkkoversio (viitattu 25.9.2011). (suomeksi)

• Funktion approksimointi Taylorin polynomilla. Kivelä S., 2002. MatTa: webMathematica Standardin verkkoversio (viitattu 25.9.2011). (suomeksi)

• Second derivative as simple limit. PlanetMath: Calculus. PlanetMath Standardin verkkoversio (viitattu 25.9.2011). (englanniksi)

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.