Tyhjä tulo

Tyhjä tulo tarkoittaa matematiikassa tuloa, jossa ei ole yhtään tekijää, toisin sanoen tyhjän joukon alkioiden tuloa. Sen arvo on 1 eli kertolaskun neutraalialkio.^[1][2]. Tyhjiksi tuloiksi voidaan ymmärtää esimerkiksi nollas potenssi ${\displaystyle a^{0}=1}$ ja nollan kertoma ${\displaystyle 0!=1.}$^[2][3]

Tyhjä tulo on hyödyllinen käsite, koska sen avulla moniin tuloksiin ei tarvita poikkeuksia nollan kohdalle.^[4] Esimerkiksi tulos, että ${\displaystyle n}$ alkiota voidaan järjestää jonoksi ${\displaystyle n!}$ eri tavalla, pätee nyt myös tapauksessa ${\displaystyle n=0}$: tyhjän joukon voi järjestää tasan yhdellä tavalla, nimittäin tyhjäksi jonoksi. Näin määritellen myös rekursiokaava ${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}$ pätee kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla ${\displaystyle n}$.^[2] Toinen esimerkki on aritmetiikan peruslause, jonka mukaan jokaisella positiivisella kokonaisluvulla on olemassa yksikäsitteinen esitys alkulukujen tulona; luvulla 1 tämä esitys on tyhjä tulo.^[4] Kolmas esimerkki on, että potenssien kertolaskusääntö ${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}$ toimii myös tapauksessa ${\displaystyle n=0}$, kun määritellään, että ${\displaystyle a^{0}=1}$.^[3]

Tyhjä tulo on analoginen tyhjän summan kanssa, jonka arvo on nolla eli yhteenlaskun neutraalialkio. Muita samantapaisia käsitteitä ovat joukko-opissa tyhjä unioni ja tyhjä karteesinen tulo sekä logiikassa tyhjä disjunktio ja tyhjä konjunktio. Monoidissa voidaan määritellä yleisesti, että tyhjän tulon arvo on kyseisen monoidin neutraalialkio^[5].

Lähteet

1. Ruohonen, Keijo: Matemaattinen kryptologia math.tut.fi. 2012. Arkistoitu 11.11.2019. Viitattu 11.11.2019.
2. Knuth, Donald E.: The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, s. 33, 46. (Third edition) Addison-Wesley, 2000.
3. Bender, Edward A. ja Williamson, S. Gill: A Short Course in Discrete Mathematics, s. 54. Courier, 2005.
4. Davenport, H.: The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, s. 18. (Seventh edition) Cambridge University Press, 1999. Google Books (viitattu 11.11.2019).
5. Lang, Serge: Algebra, s. 5. Springer, 2005.