Vertailuperiaate

Vertailuperiaate tai vertailutesti on tapa tutkia sarjojen suppenemista. Testiä on kahta muotoa.

Vertailuperiaate

Olkoon sarjat

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

ja

${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$

Tällöin jos^[1]

A) sarja ${\displaystyle a_{n}}$ hajaantuu, niin ${\displaystyle b_{n}}$ hajaantuu (minoranttiperiaate)

B) sarja ${\displaystyle b_{n}}$ suppenee, niin ${\displaystyle a_{n}}$ suppenee (majoranttiperiaate)

Vertailuperiaatteen raja-arvomuoto

Olkoon sarjat

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ja ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

ja

${\displaystyle 0\leq a_{n}<b_{n}}$

Lasketaan osamäärän raja-arvo

${\displaystyle \lim _{n->\infty }a_{n}/b_{n}=L}$

Nyt:^[2]

A) jos ${\displaystyle L\neq 0}$ ja ${\displaystyle L\neq \infty }$, niin: ${\displaystyle a_{n}}$ suppenee ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle b_{n}}$ suppenee

B) jos ${\displaystyle L=0}$ tai ${\displaystyle L\to \infty }$, niin sarjat joko suppenevat tai hajaantuvat

Katso myös

• Juuritesti
• Osamäärätesti
• Integraalitesti

Lähteet

1. Adams, Robert A.: ”9.3. Convergence Test for Positive Series”, Calculus: A Complete Course, s. 489. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
2. Adams, Robert A.: ”9.3. Convergence Test for Positive Series”, Calculus: A Complete Course, s. 490. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.

Kirjallisuutta

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.1) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.34) ISBN 0-521-58807-3
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).