Viidennen asteen yhtälö

Algebrassa viidennen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jossa esiintyvän tuntemattoman muuttujan korkein asteluku on viisi eli on muotoa:

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0\,}$ (jossa ${\displaystyle a\neq 0\,}$).

Toisin kuin asteluvultaan tätä pienemmillä polynomiyhtälöillä, viidennen ja sitä korkeamman asteen yhtälöillä ei ole kompleksilukujen joukossa yleistä ratkaisukaavaa, joka olisi lausuttavissa kertoimien a, b, c, d ja e äärellisenä juurilausekkeina (tämä ei tarkoita sitä, etteikö tällaista ratkaisua ole joillekin viidennen asteen yhtälöille). Tämä nähdään esimerkiksi siitä, että polynomin

${\displaystyle 7x^{5}+4x^{3}+1}$

Galois'n ryhmä Q:ssa on S5, joka ei ole ratkeava. Ratkaisukaavan löytymättömyyden todisti norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel vuonna 1824.

Kysymyksen täsmennys

Koko kysymyksenasettelu voidaan ymmärtää monella tavalla väärin.

Ensinnäkin ratkaisu on olemassa, kyse on vain ratkaisun muodosta. Kun yhtälö on viidettä tai yleisemmin paritonta astetta, yhtälön ratkaisuista ainakin yksi on sitä paitsi reaaliluku.

Toiseksi tarkka likiarvo ratkaisuille ei ole erityisen vaikea laskea. Yksinkertaisesti joskin tehottomasti reaalilukuratkaisun löytää puolitushaulla.

Kolmanneksi on selvää, että joillakin yhtälöillä ratkaisu on esitettävissä juurenoton ja peruslaskutoimitusten avulla; yhtälön ${\displaystyle x^{5}-2=0}$ ratkaisu on tietenkin ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}}$. Tosin juurtamalla ratkeavia 5. asteen yhtälöitä on tietyssä mielessä äärettömän vähän verrattuna ratkeamattomiin.

Neljänneksi on tarkennettava ratkaisu äärelliseen määrään laskutoimituksia. Seuraava todistus ei estä mahdollisen äärettömän ketjujuurtamisen avulla saatavan ratkaisun mahdollisuutta.

Lopuksi juurenotto on vain yksi funktio, eikä missään periaatteellisessa erikoisasemassa. Muiden funktioiden avulla viidennen asteen yhtälökin on ratkaistavissa.

Ratkeamattomuustodistuksen päälinja

Ratkeamattomuutta ei voi todistaa tutkimalla yhtä juurta kerralla, vaan ideana on tutkia kaikkia juuria kerralla. Epämuodollisesti kuvaten viidennen asteen yhtälön viisi juurta voivat muodostaa solmun, joka ei juurenotoilla aukea. Neljästä juuresta ei saada solmua joka ei aukeisi, jonka vuoksi 4. asteen yhtälölle on yleinen ratkaisukaava.

Todistuksessa tarvitaan kahta algebrallista rakennetta: kuntaa ja ryhmää. Ongelma siirretään ensin polynomista kuntiin ja kuntalaajennuksiin. Kuntalaajennuksiin voidaan määritellä automorfismeja, ja nämä muodostavat ryhmän.

Jotkut ryhmät ovat vaihdannaisia, toiset eivät. Jokainen juurenotto vastaa kuntalaajennusta. Tällaista kuntalaajennusta vastaava ryhmä ei ole välttämättä vaihdannainen, mutta se voidaan tietyllä tapaa nähdä kootuksi vaihdannaisista osista. Näin juurenottojen ketjua vastaava kuntalaajennusten ketjukin koostuu vaihdannaisista osista. Tällaista vaihdannaisista osista koostuvaa ryhmää kutsutaan ratkeavaksi. Voidaan todistaa, että jotkut ryhmät eivät ole ratkeavia, eli niitä ei voi koota vaihdannaisista osista. Toisaalta voidaan polynomin määräämän kuntalaajennuksen automorfismien ryhmä laskea tietämättä juuria, ja jos se osoittautuu olevan ratkeamaton ryhmä, ei vastaavan polynomin juuria voi esittää peruslaskutoimitusten ja juurtamisten avulla.

Polynomista kuntalaajennuksiin: juurikunta

Kunta on epäformaalisti kuvattuna neljän peruslaskutoimituksen suhteen suljettu joukko, jossa osittelulaki pätee. Esimerkiksi rationaaliluvut ovat kunta.

Myös joukko ${\displaystyle \{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}}$ on kunta, siis suljettu laskutoimitusten suhteen. Ensimmäisenä käännetään väite "yhtälön ${\displaystyle x^{2}-2x-1=0}$ ratkaisut ovat ${\displaystyle 1\pm {\sqrt {2}}}$" muotoon "Yhtälön ${\displaystyle x^{2}-2x-1=0}$ juuret löytyvät kunnasta ${\displaystyle \{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}}$, joka on kunnan ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ laajennus".

Kuntalaajennusten ketju

Kuntalaajennusten ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-automorfismit ryhmänä: Galois'n ryhmä

Ryhmän ratkeavuus

Galois'n ryhmän laskeminen juuria tuntematta

Yhteenveto

Historiaa

Keskiajan lopulla 4. asteen yhtälön ratkaisukaava löydettiin melko pian 3. asteen kaavan jälkeen. Viidennen asteen yhtälöstäkin saatiin Tschirnhausin muunnoksella hävitettyä 4. ja 3. asteen termit ja päästiin siis muotoon ${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+bx+c=0}$. Myöhemmin keksittiin vielä keino hävittää 2. asteen termi. Lupaavasta alusta huolimatta tämä ei auttanut - nykyään tiedetään, että yleistä ratkaisukaavaa ei ole edes muotoa ${\displaystyle x^{5}+ax+b=0}$ olevalle kaavalle.

Kolmannen ja neljännen asteen kaavat olivat jossain määrin erillisiä, "hatusta vedettyjä". Joseph-Louis Lagrange kehitti menetelmän, joka yhtenäisti nämä kaavat. Yksinkertaistaen 4. asteen yhtälö palautettiin 3. asteen yhtälöön ja se puolestaan 2. asteen yhtälöön. Kun samaa menetelmää käytettiin 5. asteen yhtälössä, tulos olikin 6. asteen yhtälö. Tämän voi nähdä vihjeenä siihen suuntaan, että ratkaisua ei ole.

Ensimmäisen todistuksen ongelman ratkeamattomuudelle esitti Paolo Ruffini. Todistuksessa oli aukko. Se oli kuitenkin ensimmäinen kerta, jolloin selvästi lähdettiin ongelman ratkaisemisen sijaan todistamaan ratkaisemattomuutta. Tämä oli merkittävä ajattelutavan muutos.

Ruffinin työtä tuntematta ratkeamattomuuden todisti Niels Henrik Abel. Todistus oli pätevä, mutta ei vastannut täsmällisesti siihen, milloin yhtälöllä on ratkaisu juurtamalla ja milloin ei.

Viimeiseen kysymykseen täsmällisen vastauksen antoi Évariste Galois, joka samalla aloitti ryhmäteoriana tunnetun matematiikan alan. Galois'n ratkaisu perustui juurien permutaatiohin. Nykyisen esitystavan kuntalaajennusten automorfismien ryhmien kautta kehitti Emil Artin.

Kirjallisuutta

• Mario Livio: Yhtälö jota ei voinut ratkaista. Terra Cognita, 2008. ISBN 978-952-56-9710-0