Winkel tripel -projektio

Winkel tripel -projektion mukainen maailmankartta. Leveys- ja pituuspiirit merkitty 15 asteen välein.

Winkel tripel -projektio ja vääristymistä kuvaavat Tissot'n indikaattorit

Winkel tripel -projektio ^[1] (Winkel III) on yksi Oswald Winkelin vuonna 1921 esittämistä kolmesta karttaprojektiosta. Projektio on tasavälisen lieriö­projektion ja Aitoffin projektion aritmeettinen keskiarvo.^[2] Sana tripel johtuu kolmin­kertaista tarkoittavasta saksan kielen sanasta ja viittaa siihen, että Winkelillä oli tarkoituksena minimoida kolme kartta­projektioissa esiintyvää vääristymää: pinta-alan, suunnan ja etäisyyden vääristymät.^[3]

Matemaattinen määritelmä

Winkel tripel -projektiossa maan­pinnan piste, jonka leveysaste on ${\displaystyle \phi }$ ja pituusaste ${\displaystyle \lambda }$, kuvautuu suora­kulmaisen koordi­naatiston pisteeseen, jonka koordinaatit ovat:

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\lambda \cos(\phi _{1})+{\frac {2\cos(\phi )\sin \left({\frac {\lambda }{2}}\right)}{\mathrm {sinc} (\alpha )}}\right]}$

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[\phi +{\frac {\sin(\phi )}{\mathrm {sinc} (\alpha )}}\right]}$

missä ${\displaystyle \phi _{1}}$ on vastaavan tasa­välisen lieriö­projektion perus­leveys­piiri, jonka kohdalla se on oikea­pituinen, ja

${\displaystyle \alpha =\arccos \left[\cos(\phi )\cos \left({\frac {\lambda }{2}}\right)\right]}$

Merkintä ${\displaystyle \mathrm {sinc} (\alpha )}$ tarkoittaa funktiota

${\displaystyle \mathrm {sinc} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}}$, kun ${\displaystyle \alpha }$ ≠ 0

${\displaystyle \mathrm {sinc} (\alpha )=0}$, kun ${\displaystyle \alpha }$ = 0.

Winkel ehdotti perus­leveys­piirinä ${\displaystyle \phi _{1}}$ käytettäväksi leveys­piiriä:

${\displaystyle \phi _{1}=\arccos \left({\frac {2}{\pi }}\right)\,}$

Näiden funktioiden käänteisfunktioita ei voida esittää matemaattisilla kaavoilla, ja niiden laskeminen numeerisestikin on melko mutkikasta.^[4]

Käyttö

Vuonna 1998 yhdys­valtalainen National Geographic Society alkoi käyttää maailman­kartoissaan Winkel tripel -projektiota aikaisemmin käyttämänsä Robinsonin projektion sijasta. Monet oppi­laitokset ja oppikirjat seurasivat esi­merkkiä ja alkoivat käyttää samaa projektiota, jota useimmat niistä käyttävät edelleen.

Lähteet

1. Maailmanluokan karttoja 9.4.2010. National Geographic. Viitattu 19.4.2014.
2. John P. Snyder: Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, s. 231-232. Chicago: University of Chicago Press, 1993. 0-226-76747-7 Teoksen verkkoversio.
3. Winkel Tripel projections Winkel.org. Viitattu 12.12.2012.
4. A General Algorithm for the Inverse Transformation of Map Projections using Jacobian Matrices. Proceedings of the Third International Symposium Mathematical & Computational Applications, 2001. Konya, Turkki. Artikkelin verkkoversio. (Arkistoitu – Internet Archive)

Aiheesta muualla

• Table of common projections