142 857 (nombre)

Le nombre 142 857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables en base dix. La plupart de celles-ci découlent du fait que 142 857 est la période du développement décimal de la fraction ¹⁄₇.

142 856 —142 857— 142 858
Cardinal	142 857
Propriétés
Facteurs premiers	3^3×11×13×37
Diviseurs	1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,111,117,143,297, 333,351,407,429,481,999,1221,1287,1443, 3663,3861,4329,5291,10989,12987,15873, 47619,142857
Autres numérations
Numération romaine	inexistante
Système binaire	100010111000001001
Système octal	427011
Système duodécimal	6A809
Système hexadécimal	22E09
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Nombre cyclique

142 857 est un nombre cyclique appelé aussi « nombre phénix » :

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 × 142 857 = 142 857

2 × 142 857 = 285 714

3 × 142 857 = 428 571

4 × 142 857 = 571 428

5 × 142 857 = 714 285

6 × 142 857 = 857 142

Développement décimal cyclique des septièmes

La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division ¹⁄₇) :

1/7 = 0,142 857 142 857 142 857 …

On notera alors la première approximation de pi par un rationnel dont la période du développement décimal comprend plus d'un chiffre :

22/7 = 3,142 857… (approximation très grossière car seules deux premières décimales sont identiques).

Multiplications de 8 à 14

Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres de 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier. Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre n se transforme en (n – 1), l'unité « passant devant » (l'unité correspond au million) :

• 8 × 142 857 = 1 142 856 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 1 + 6)
• 9 × 142 857 = 1 285 713 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 1 + 3)
• 10 × 142 857 = 1 428 570 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 1 + 0)
• 11 × 142 857 = 1 571 427 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 1 + 7)
• 12 × 142 857 = 1 714 284 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 1 + 4)
• 13 × 142 857 = 1 857 141 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 1 + 1)
• 14 × 142 857 = 1 999 998 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 1 + 8)

  On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre n en (n – 1), l'unité « passant devant ».

Multiplications de 15 à 21

Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre n se transforme en (n – 2), le 2 « passant devant » (2 correspond à 2 millions) :

• 15 × 142 857 = 2 142 855 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 2 + 5)
• 16 × 142 857 = 2 285 712 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 2 + 2)
• 17 × 142 857 = 2 428 569 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 2 + (–1))

  La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle s'applique sans s'appliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2 + (–1) « oblige » à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.

• 18 × 142 857 = 2 571 426 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 2 + 6)
• 19 × 142 857 = 2 714 283 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 2 + 3)
• 20 × 142 857 = 2 857 140 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 2 + 0)
• 21 × 142 857 = 2 999 997 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 2 + 7)

  La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre n en (n – 2), le 2 « passant devant ».

Multiplications suivantes

• Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre n devient (n – 3), le 3 passant devant.
• Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre n devient (n – 4), le 4 passant devant.
• Et ainsi de suite.

L'explication est assez simple. Tout nombre entier n peut s'écrire de façon unique (7 × a + b), a étant un nombre entier et b un nombre entier compris entre 0 et 6 (par simple division euclidienne par 7).

La multiplication par n devient :

n × 142 857 = (7 × a + b) × 142 857

= a × (7 × 142 857) + b × 142 857

= a × (999 999) + b × 142 857

= (a × 1 000 000 - a) + b × 142 857

Le nombre b étant compris entre 0 et 6, le produit b × 142 857 fait apparaître la permutation.

Le terme (a × 1 000 000 – a) explique la décomposition du dernier chiffre n de la permutation en (n – a) et a « passant devant » (a millions)

Comme nous l'avons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

Lien avec 9, 99, 999 et 999 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10ⁿ – 1 :

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 où 2 + 7 = 9

14 + 28 + 57 = 99

142 + 857 = 999

142 857 × 7 = 999 999

Elles sont liées au fait que 142 857 est la période du développement décimal de la fraction ¹⁄₇ et se généralisent aux autres périodes de fractions du type ¹⁄_n par exemple :

• 333 (de ¹⁄₃)
• 09 (de ¹⁄₁₁)
• 076 923 (de ¹⁄₁₃)

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9 :

${\displaystyle 2^{1}\mod 9\equiv 2}$

${\displaystyle 2^{2}\mod 9\equiv 4}$

${\displaystyle 2^{3}\mod 9\equiv 8}$

${\displaystyle 2^{4}\mod 9\equiv 7}$

${\displaystyle 2^{5}\mod 9\equiv 5}$

${\displaystyle 2^{6}\mod 9\equiv 1}$

et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 × 142 857 = 999 999, on peut déduire

142 857 × 7 × n = n × 1000000 – n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142 857.

Nombre de Kaprekar

142 857 est un nombre de Kaprekar (en base dix) :

142 857² = 20 408 122 449

142 857 = 20 408 + 122 449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142 857 avec un éventuel décalage (donc 142 857 × 1, 2, … ou 6) ou 999 999 (= 142 857 × 7). Par exemple :

142 857 × 56 = 7 999 992

⇒ 7 + 999 992 = 999 999 = 142 857 × 7

142 857 × 125 = 17 857 125

⇒ 17 + 857 125 = 857 142 = 142 857 × 6

142 857 × 7 841 131 285 974 854 689 745 213 = 1 120 160 492 120 509 816 412 931 893 541

⇒ 1 + 120 160 + 492 120 + 509 816 + 412 931 + 893 541 = 2 428 569

⇒ 2 + 428 569 = 428 571 = 142 857 × 3

On notera également

142 857⁴ = 416 491 461 893 377 757 601

142 857 × 15 = 416 + 491 461 + 893 377 + 757 601

et

142 857⁸ = 173 465 137 830 082 936 774 412 507 898 191 113 275 201

142 857 × 15 = 173 465 + 137 830 + 082 936 + 77 4412 + 507 898 + 191 113 + 275 201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

• 333 (de ¹⁄₃)
• 09 (de ¹⁄₁₁)
• 0 588 235 294 117 647 (de ¹⁄₁₇)

Nombre Harshad

142 857 est un nombre Harshad : 142 857 = 5291 × (1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7).

Nombre jumeau et la roue de six

La roue de six.

326 451 peut être considéré comme le jumeau de 142 857 :

• D'une part :

  142 857 × 3 = 428 571

  142 857 × 2 = 285 714

  142 857 × 6 = 857 142

  142 857 × 4 = 571 428

  142 857 × 5 = 714 285

  142 857 × 1 = 142 857

• D'autre part :

  10 = 3 + (7 × 1)

  100 = 2 + (7 × 14)

  1 000 = 6 + (7 × 142)

  10 000 = 4 + (7 × 1 428)

  100 000 = 5 + (7 × 14 285)

  1 000 000 = 1 + (7 × 142 857)

On peut visualiser certaines propriétés de 142 857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre La leçon de Platon.

On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur.

Autres propriétés

Sa décomposition en produit de facteurs premiers est :

142 857 = 3³ × 11 × 13 × 37

Il possède au total 32 diviseurs, qui sont : 1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,111,117,143,297,333,351,407,429,481,999,1221,1287,1443,3663,3861,4329,5291,10989,12987,15873,47619,142857^[1].

En littérature

Le nombre 142 857 apparaît dans la Trilogie du cycle des dieux de Bernard Werber comme le numéro de chambre de Michael Pinson et le fait réfléchir à toutes ses caractéristiques.

Lien avec les nombres divisibles par 7

• Entre 1-10, il y a 1 nombre divisible par 7
• Entre 1-100, il y a 14 nombres divisibles par 7
• Entre 1-1000, il y a 142 nombres divisibles par 7
• Entre 1-10000, il y a 1428 nombres divisibles par 7
• Entre 1-100000, il y a 14285 nombres divisibles par 7
• Entre 1-1000000, il y a 142857 nombres divisibles par 7
• Entre 1-10000000, il y a 1428571 nombres divisibles par 7

…

Notes et références

1. « Nombre 142857 », sur villemin.gerard.free.fr (consulté le 7 octobre 2019).

• Arithmétique et théorie des nombres