Il étudie à l'université de l'Illinois où il obtient un Ph.D. en 1960. Sa thèse porte sur la musique pour clavier de Sweelinck. Il poursuit sa formation à Amsterdam auprès de Gustav Leonhardt avec lequel il enregistre plusieurs des concertos pour clavecins de Jean-Sébastien Bach. Dans les années 1960 et 1970 il réalise une série d'enregistrements remarqués de pièces pour clavecin, incluant des œuvres de Rameau et de Bach (Variations Goldberg jouées sur le célèbre clavecin de Christian Zell de 1728).
Après une carrière d'enseignant partagée entre Université de Californie à Berkeley et l'Europe, Alan Curtis se consacre à produire la musique lyrique de la période allant de Monteverdi à Mozart. Déjà, en tant qu'étudiant en 1950, il est le premier claveciniste à aborder les préludes non mesurés de Louis Couperin et ensuite à recréer des opéras de compositeurs tels que Rameau ou Monteverdi. Il est un des premiers chefs d'orchestre à faire usage d'instruments anciens, avec une chorégraphie proche de celle des origines.
Il commande le premier chitarrone et le premier clavecin à feintes brisées construit au XXe siècle. En 1978, pour la production de l' Admeto de Haendel, il est le tout premier à utiliser la même composition d'orchestre qu'à l'époque de Haendel ; il ré-introduit en particulier l'archiluth, aujourd'hui communément pratiqué.
Dans les années qui suivent, il est à l'origine de la résurrection de nombreux opéras baroques.
Haendel : Rodrigo. Avec Sandrine Piau, Gloria Banditelli, Elena Cecchi Fedi, Rufus Müller, Roberta Invernizzi, Caterina. Calvi, Il Complesso Barocco, 2CD Virgin Classics, 1997
Haendel : Tolomeo. Avec Ann Hallenberg, Karina Gauvin, Anna Bonitatibus, Romina Basso, Pietro Spagnoli, Il Complesso Barocco. 3CD Deutsche Grammophon (Archiv), 2008
Vivaldi : Catone in Utica. Avec Topi Lehtipuu, Roberta Mameli, Ann Hallenberg, Sonia Prina, Romina Basso, Emöke Barath, Il Complesso Barocco. 3CD Naïve, 2013
Vivaldi : Giustino. Avec Marina Comparato, Dominique Labelle, Francesca Provvisionato, Geraldine McGreevy, Leonardo De Lisi, Laura Cherici. 2CD Virgin Classics, 2002
Vivaldi : Motezuma. Avec Vito Priante, Marijana Mijanovic, Roberta Invernizzi, Maité Beaumont, Romina Basso, Inga Kalma, Il Complesso Barocco. 3CD Deutsche Grammophon (Archiv), 2006
Vivaldi : Motezuma. Avec Vito Priante, Mary-Ellen Nesi, Laura Cherici, Franziska Gottwald, Theodora Baka, Gemma Bertagnolli, Il Complesso Barocco. 2DVD Dynamic, 2011