Angle d'or

L'angle d’or est un angle valant ${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})}$ fois l'angle plat soit environ 137,51°. Il est lié au nombre d'or.

Définitions

En géométrie

L'angle d'or est sous-tendu par l'arc b quand ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=\varphi }$
(φ étant le nombre d'or)..

En géométrie, l'angle d'or est l'angle sous-tendu par le plus petit des deux arcs créés en divisant la circonférence c d'un cercle en deux sections dont les longueurs a et b sont dans un rapport égal au nombre d'or φ.

En conséquence:

${\displaystyle c=a+b\,}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{a}}=\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\varphi }^{2}-1}$

L'angle d'or, sous-tendu par l'arc de cercle b, mesure en radians :

• ${\displaystyle \theta _{1}={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}={2\pi }(1-{\frac {1}{\varphi }})=\pi (3-{\sqrt {5}})=2,39996323...}$, voir la suite A131988 de l'OEIS.

Démonstration

Comme l'arc intersecté par cet angle et la circonférence du cercle sont proportionnels :

• ${\displaystyle \theta _{1}/b={2\pi }/c}$
• ${\displaystyle \theta _{1}={2\pi }b/c}$
• ${\displaystyle \theta _{1}={2\pi }b/(a+b)}$
• ${\displaystyle \theta _{1}={2\pi }/(a/b+1)}$
• ${\displaystyle \theta _{1}={2\pi }/({\varphi }+1)={2\pi }{\frac {{\varphi }-1}{({\varphi }+1)({\varphi }-1)}}={2\pi }{\frac {{\varphi }-1}{({\varphi }^{2}-1)}}={2\pi }(1-1/{\varphi })={2\pi }(1-{\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}})={2\pi }(1+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})=\pi (3-{\sqrt {5}})}$
• ${\displaystyle \theta _{1}={2\pi }/{\varphi }^{2}}$

Il mesure en degrés :

• ${\displaystyle {\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}})=137,5077641...}$ soit 137° 30′ 27,950 5″, voir la suite A096627 de l'OEIS.

L'angle d'or rentrant, sous-tendu par l'arc de cercle a, mesure en radians :

• ${\displaystyle \theta _{2}=2\pi -\theta _{1}={\frac {2\pi }{\varphi }}=\pi ({\sqrt {5}}-1)=3,88322207...}$

Il mesure en degrés :

• ${\displaystyle {\frac {360}{\varphi }}=180({\sqrt {5}}-1)=222,492236...}$ soit 222° 29′ 32,049 4″

Dans la nature

On retrouve cet angle à plusieurs reprises dans la nature^[1]. Par exemple, les écailles des pommes de pin , ou les fleurons du tournesol^[2] sont disposées le long de spirales logarithmiques, deux écailles ou fleurons successifs formant un angle d'or avec le centre de la spirale^[3]. Apparaissent alors des spirales secondaires dont le nombre est toujours un élément de la suite de Fibonacci. Stéphane Durand explique que cette disposition correspond à l'optimisation de l'occupation de l'espace dans le plan^[4]. Il existe des exposés détaillés de ce phénomène^[5],[6].

En imagerie médicale

L’imagerie à résonance magnétique (IRM) utilise plusieurs méthodes d'échantillonnage. L'une d'elles, radiale avec incrémentation d'une valeur nommée « angle d'or », utilise la valeur 111,25°^[7],[8]

Propriété des multiples fibonacciens de l'angle d'or

D'après la formule de Binet exprimant les nombres de Fibonacci : ${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ où ${\displaystyle \psi =-1/\varphi }$, on a ${\displaystyle {F_{n} \over {\varphi }}-F_{n-1}\sim {\psi ^{n-1} \over {\sqrt {5}}}\longrightarrow 0}$ quand n tend vers l'infini.

On en déduit que ${\displaystyle F_{n}\theta _{2}-F_{n-1}\times 2\pi }$ tend vers 0 et que donc les multiples successifs de l'angle d'or rentrant par les nombres de Fibonacci tendent vers l'angle nul (et de même pour l'angle d'or (sortant)).

Autres angles lié au nombre d'or

L'angle d'or ne doit pas être confondu avec l'angle ${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {1}{\varphi }}=\arctan {\sqrt {\varphi }}\approx 0,90\approx 52^{\circ }}$, voir la suite A195692 de l'OEIS. Cet angle est proche de l'angle que font les faces de la pyramide de Khéops avec l’horizontale.

Deux autres angles liés au nombre d'or sont ${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{2\varphi }}={\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}$ et son double qui sont les angles du triangle d'or.

Références

1. S. Douady et T. Couder, « Le physique des spirales végétales », Le Recherche,‎ janvier 1993, p. 26-
2. H Vogel, « A better way to construct the sunflower head », Mathematical Biosciences, vol. 44, n^o 44,‎ 1979, p. 179–189 (DOI 10.1016/0025-5564(79)90080-4)
3. (en) Lisa Zyga, « Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature », sur PhysOrg, 1^er mai 2007
4. « Pourquoi les graines du tournesol forment-elles 21 courbes dans un sens et 34 dans l'autre? », sur crm.umontreal.ca, année 2000 (consulté le 25 février 2018)
5. Anne-Marie Aebischer et Françoise de Labachelerie, « Les plantes font-elles des mathématiques? », IREM de Franche-Comté,‎ 22 mars 2013, p. 1-8 (lire en ligne)
6. Teva Vernoux, Christophe Godin et Fabrice Besnard, « Quand les plantes font des maths », Pour la science, n^o 490,‎ août 2018, p. 26-35.
7. (en) M. Magnusson, O. Dahlqvist Leinhard et P. Lundberg, « A 3D-PLUS-TIME RADIAL-CARTESIAN HYBRID SAMPLING OF K-SPAC E WITH HIGH TEMPORAL RESOLUTION AND MAINTAINED IMAGE QUALITY FOR MRI AND FMRI », Proc. Intl. Soc. Mag. Reson. Med.,‎ 2011 (lire en ligne)
8. (en) M Magnusson, « A 3D-PLUS-TIME RADIAL-CARTESIAN HYBRID SAMPLING OF K-SPAC E WITH HIGH TEMPORAL RESOLUTION AND MAINTAINED IMAGE QUALITY FOR MRI AND FMRI », Proc. Intl. Soc. Mag. Reson. Med.,‎ 2011

Articles connexes

• Angle magique

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