Son père est l'éditeur et écrivain Maurice Nadeau, sa mère est professeur de français. Elle grandit dans un milieu intellectuel et littéraire assez éloigné de ses aspirations de comédienne.
Passionnée par le cinéma, dès l'âge de treize ans elle se rend très souvent à la Cinémathèque française. À l'âge de seize ans, élève au lycée Montaigne de Paris, elle échoue au baccalauréat ; ses parents l'inscrivent alors comme pensionnaire dans un lycée de Blois où elle finit par obtenir son diplôme de bachelière. Elle passe le concours de l'IDHEC pour devenir metteur en scène mais échoue. Elle est reçue au Conservatoire au cours Charles Dullin, qu'elle décrit comme « une expérience terrible » en raison de sa grande timidité[1].
Au théâtre, elle décroche son premier rôle dans Lorenzaccio, joue les jeunes premières dans des pièces dramatiques, s'illustre au TNP. Mais elle rencontre bientôt le café-théâtre par le biais de son mari Philippe Bruneau, qui a monté sa troupe et lui fait connaître Coluche. Elle joue bientôt dans des sketchs et tourne avec la troupe du Splendid. Dans les années 1970, elle se produit au Café de la Gare, dans la pièce Papy fait de la résistance. Elle participe également à la parodie de Blanche Neige, Elle voit des nains partout, montée par Philippe Bruneau.
Dans les années 1980, elle participe, avec Philippe Bruneau encore à ses côtés, à l'émission humoristique de télévision Cocoboy, puis Cocoricocoboy animées par Stéphane Collaro. Ses prestations, avec les personnages de Mme Foldingue (souvent avec Jacques Brière dans le rôle du docteur Cynoque[2]) ou de Marie-Hélène — pastiche franchouillard de la Sue Ellen de Dallas dans Brie-Comte-Robert —, la font connaître au grand public.
En 1998, Claire Nadeau rejoint la distribution du film Les Visiteurs 2. Son personnage, Cora de Montmirail, est nouveau (il ne figurait pas dans le premier film). Elle interprète la veuve de cousin Hubert, une dame de la haute société en couple avec le Duc de Luigny, vivant dans un château. À ce titre, elle donne la réplique à Jean Reno interprétant le rôle principal du comte de Montmirail, confondu avec l'époux disparu de son personnage, dit cousin Hubert.
Parallèlement, elle poursuit sa carrière au théâtre. De 1996 à 2002, elle est nommée trois fois aux Molières pour ses rôles dans Le Bonheur des autres de Michael Frayn, Mariages et conséquences d'Alan Ayckbourn et Le jardin des apparences de Véronique Olmi. Elle joue dans Le Mandat de Nikolaï Erdman en 2007, incarne La Divine Miss V en 2008.
Claire Nadeau joue dans des séries télévisées comme L'Affaire Kergalen ou La Crim'. Elle rejoint la série Kaamelott d'Alexandre Astier, à partir de la troisième saison, dans la peau de Cryda de Tintagel, l'exécrable tante d'Arthur. Claire Nadeau joue également des rôles plus dramatiques au cinéma, comme dans La Vie privée (2005).
En 2013, Claire Nadeau rejoint la série à succès de France 2, Fais pas ci, Fais pas ça, elle y joue le rôle de la maman de Renaud Lepic. Son personnage s'invite dans un registre fréquent dans sa carrière, où le public aime la retrouver, à savoir celui d'une dame très bourgeoise et caustique.
En 2015, Claire Nadeau joue dans la saison 3 de la série Hard, le rôle de la mère de Sophie Danel (personnage principal, interprété par Natacha Lindinger).
↑Télé 7 jours no 435, semaine du au , p. 72, article de Robert de Mun intitulé « Françoise dans Les Compagnons de Baal, Claire Nadeau n'a pas trouvé de rôle depuis le tournage de ce feuilleton ».