En physique , les coefficients de Clebsch-Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l'étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique . Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833-1872) et Paul Gordan (1837-1912), qui rencontrèrent un problème similaire en théorie des invariants .
En théorie des représentations , notamment des groupes de Lie compacts , ces coefficients sont utilisés pour effectuer la décomposition en somme directe du produit tensoriel de deux représentations irréductibles.
On peut définir les coefficients de Clebsch-Gordan associés au groupe SO(3) d'une manière plus directe, comme produit d'harmoniques sphériques . L'addition de spins en mécanique quantique se comprend par cette approche. Dans cet article, on utilisera la notation bra-ket de Dirac .
Les opérateurs de moment angulaire sont les opérateurs hermitiens
j
1
,
j
2
{\displaystyle j_{1},j_{2}}
et
j
3
{\displaystyle j_{3}}
qui vérifient les relations suivantes :
[
j
k
,
j
l
]
=
i
h
/
(
2
π
)
∑
m
=
1
3
ε
k
l
m
j
m
{\displaystyle \left[j_{k},j_{l}\right]=ih/(2\pi )\sum _{m=1}^{3}\varepsilon _{klm}j_{m}\,}
avec
ε
k
l
m
{\displaystyle \varepsilon _{klm}}
le symbole de Levi-Civita . Ces trois termes peuvent être considérés comme les composantes d'un opérateur vectoriel
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
. Le carré de la norme de
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
est défini par :
j
2
=
j
1
2
+
j
2
2
+
j
3
2
{\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=j_{1}^{2}+j_{2}^{2}+j_{3}^{2}}
On définit également les opérateurs
(
j
+
)
{\displaystyle (j_{+})}
et
(
j
−
)
{\displaystyle (j_{-})}
par :
j
±
=
j
1
±
i
j
2
.
{\displaystyle j_{\pm }=j_{1}\pm ij_{2}.\,}
On peut montrer que
j
2
{\displaystyle \mathbf {j} ^{2}}
commute avec
j
1
,
j
2
{\displaystyle j_{1},j_{2}}
et
j
3
{\displaystyle j_{3}}
:
[
j
2
,
j
k
]
=
0
{\displaystyle \left[\mathbf {j} ^{2},j_{k}\right]=0}
avec k = 1,2,3.
Lorsque deux opérateurs hermitiens commutent, ils possèdent un ensemble commun de fonctions propres . Par convention, on choisit
j
2
{\displaystyle \mathbf {j} ^{2}}
et
j
3
{\displaystyle j_{3}}
. D'après les relations de commutation, on détermine les valeurs propres :
j
2
|
j
m
⟩
=
j
(
j
+
1
)
|
j
m
⟩
j
=
0
,
1
/
2
,
1
,
3
/
2
,
2
,
…
j
3
|
j
m
⟩
=
m
|
j
m
⟩
m
=
−
j
,
−
j
+
1
,
…
,
j
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {j} ^{2}|jm\rangle =j\left(j+1\right)|jm\rangle &\;\;\;j=0,1/2,1,3/2,2,\ldots \\j_{3}|jm\rangle =m|jm\rangle &\;\;\;m=-j,-j+1,\ldots ,j.\end{alignedat}}}
Les opérateurs
(
j
+
)
{\displaystyle (j_{+})}
et
(
j
−
)
{\displaystyle (j_{-})}
changent la valeur de
m
{\displaystyle m}
:
j
±
|
j
m
⟩
=
C
±
(
j
,
m
)
|
j
m
±
1
⟩
{\displaystyle j_{\pm }|jm\rangle =C_{\pm }\left(j,m\right)|jm\pm 1\rangle }
avec
C
±
(
j
,
m
)
=
j
(
j
+
1
)
−
m
(
m
±
1
)
=
(
j
∓
m
)
(
j
±
m
+
1
)
.
{\displaystyle C_{\pm }\left(j,m\right)={\sqrt {j\left(j+1\right)-m\left(m\pm 1\right)}}={\sqrt {\left(j\mp m\right)\left(j\pm m+1\right)}}.}
Un facteur de déphasage (complexe) peut être ajouté à la définition de
C
±
(
j
,
m
)
{\displaystyle C_{\pm }\left(j,m\right)}
. Les états de moment angulaire doivent être orthogonaux — car leurs valeurs propres sont distinctes — et sont supposés normalisés :
⟨
j
1
m
1
|
j
2
m
2
⟩
=
δ
j
1
,
j
2
δ
m
1
,
m
2
.
{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}|j_{2}m_{2}\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},m_{2}}.}
Les états de moment angulaire peuvent être développés en les supposant non-couplés :
|
(
j
1
j
2
)
J
M
⟩
=
∑
m
1
=
−
j
1
j
1
∑
m
2
=
−
j
2
j
2
|
j
1
m
1
j
2
m
2
⟩
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
J
M
⟩
{\displaystyle |\left(j_{1}j_{2}\right)JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }
Les coefficients qui apparaissent dans le développement, notés
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
J
M
⟩
{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }
, sont les coefficients de Clebsch-Gordan.
En appliquant l'opérateur :
J
3
=
j
3
⊗
1
+
1
⊗
j
3
{\displaystyle J_{3}=j_{3}\otimes 1+1\otimes j_{3}}
des deux côtés de l'égalité, on montre que les coefficients de Clebsch-Gordan peuvent ne pas être nuls seulement lorsque :
M
=
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle M=m_{1}+m_{2}.\,}
On peut introduire la notation alternative, mais équivalente, suivante :
⟨
J
M
|
j
1
m
1
j
2
m
2
⟩
≡
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
J
M
⟩
{\displaystyle \langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }
Il est alors possible d'établir deux relations d'orthogonalité :
∑
J
=
|
j
1
−
j
2
|
j
1
+
j
2
∑
M
=
−
J
J
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
J
M
⟩
⟨
J
M
|
j
1
m
1
′
j
2
m
2
′
⟩
=
δ
m
1
,
m
1
′
δ
m
2
,
m
2
′
{\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}
∑
m
1
m
2
⟨
J
M
|
j
1
m
1
j
2
m
2
⟩
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
J
′
M
′
⟩
=
δ
J
,
J
′
δ
M
,
M
′
{\displaystyle \sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}}
La relation de symétrie suivante est toujours valable :
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
J
M
⟩
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
−
J
⟨
j
1
−
m
1
j
2
−
m
2
|
J
−
M
⟩
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
−
J
⟨
j
2
m
2
j
1
m
1
|
J
M
⟩
.
{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle =\left(-1\right)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}{-m_{1}}j_{2}{-m_{2}}|J{-M}\rangle =\left(-1\right)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle .}
Les coefficients de Clebsch-Gordan sont reliés aux symboles 3-jm , qui sont plus agréables à manipuler du fait de symétries plus simples. Cette relation s'exprime par l'équation suivante :
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
j
3
m
3
⟩
=
(
−
1
)
j
1
−
j
2
+
m
3
2
j
3
+
1
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
−
m
3
)
.
{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =\left(-1\right)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}
L'algèbre des opérateurs de moment angulaire correspond à l'algèbre SU(2) en mathématique. On peut généraliser les nombres quantiques du moment angulaire à SU(N), l'algèbre de Lie du groupe spécial unitaire . Par exemple, c'est le cas en chromodynamique quantique . Pour coupler deux tels états quantiques , il faut les coefficients de Clebsch-Gordan de SU(N), qui ne sont pas connus en général. Cependant, des algorithmes produisant ces coefficients sont disponibles[ 1] . Un site web pour calculer les coefficients de Clebsch-Gordan pour SU(N) fournit des tableaux explicites des coefficients.
↑ (en) A. Alex , « A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N,C) Clebsch-Gordan coefficients », J. Math. Phys. , vol. 82, février 2011 , p. 023507 (DOI 10.1063/1.3521562 , lire en ligne , consulté le 13 avril 2011 )
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu et F. Laloë , Mécanique quantique [détail de l’édition ]
Albert Messiah , Mécanique quantique [détail des éditions ]
(en) Edmonds, A. R. : « Angular Momentum in Quantum Mechanics », Princeton University Press (1957). (ISBN 0-691-07912-9 ) .
(en) Condon, Edward U., Shortley, G. H. : « The Theory of Atomic Spectra », Cambridge University Press (1970). (ISBN 0-521-09209-4 ) .
(en) Brink, D. M., Satchler, G. R. : Angular Momentum , 3e édition, Clarendon Press (1993), Oxford. (ISBN 0-19-851759-9 ) .
(en) Zare, Richard N. : Angular Momentum , John Wiley & Sons (1988), New York. (ISBN 0-471-85892-7 ) .
(en) Biedenharn, L. C., Louck, J. D., Angular Momentum in Quantum Physics , Addison-Wesley (1981), Reading, Massachusetts. (ISBN 0-201-13507-8 ) .