Condition aux limites de Neumann

En mathématiques, une condition aux limites de Neumann (nommée d'après Carl Neumann) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs des dérivées que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

• Pour une équation différentielle, par exemple :

${\displaystyle y''+y=0~}$

la condition aux limites de Neumann sur l'intervalle ${\displaystyle [a,\,b]}$ s'exprime par :

${\displaystyle y'(a)=\alpha \ {\text{et}}\ y'(b)=\beta }$

où ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont deux nombres donnés.

• Pour une équation aux dérivées partielles, par exemple :

${\displaystyle \Delta y+y=0~}$

où ${\displaystyle \Delta ~}$ est le Laplacien (opérateur différentiel), la condition aux limites de Neumann sur un domaine ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ s'exprime par :

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial {\overrightarrow {n}}}}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega }$

où ${\displaystyle f}$ est une fonction scalaire connue définie sur la limite ${\displaystyle \partial \Omega }$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}}$ est le vecteur normal à la frontière ${\displaystyle \partial \Omega }$. La dérivée normale dans le membre de gauche de l'équation, est définie par :

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial {\overrightarrow {n}}}}(x)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~y(x)\cdot {\overrightarrow {n}}(x)}$

D'autres conditions sont possibles, telles la condition aux limites de Dirichlet et la condition aux limites de Robin, qui est une combinaison des conditions de Dirichlet et de Neumann.

Voir aussi

Articles connexes

• Condition aux limites
• Condition aux limites de Dirichlet
• Condition aux limites de Robin
• Condition aux limites dynamique
• Condition aux limites mêlée

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