Conjecture de Cramér

En mathématiques, la conjecture de Cramér, formulée par le mathématicien suédois Harald Cramér en 1936^[1], pronostique l'asymptotique suivante pour l'écart entre nombres premiers :

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}=O((\ln p_{n})^{2}),}$

où g_n est le n-ième écart, p_n est le n-ième nombre premier et ${\displaystyle O}$ désigne le symbole de Bachmann-Landau ; cette conjecture n'est pas démontrée à ce jour.

Énoncés liés

Cramér avait auparavant, en 1920^[2], démontré un énoncé plus faible :

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})}$

sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).

Andrew Granville^[2] a affiné la conjecture initiale de Cramér en proposant la constante

${\displaystyle 2e^{-\gamma }\approx 1,1229\ldots .}$

comme limite supérieure de la suite

${\displaystyle {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}}$.

Des calculs poussés indiquent que cette estimation est plausible^[3].

Dans l'autre direction, on sait^[4] que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty }$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cramér's conjecture » (voir la liste des auteurs).

1. (en) H. Cramér, « On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers », Acta Arithmetica, vol. 2,‎ 1936, p. 23–46.
2. (en) A. Granville, « Harald Cramér and the distribution of prime numbers », Scandinavian Actuarial Journal, vol. 1,‎ 1995, p. 12–28 (lire en ligne).
3. (en) Thomas R. Nicely, « New maximal prime gaps and first occurrences », Mathematics of Computation, vol. 68, n^o 227,‎ 1999, p. 1311–1315 (DOI 10.1090/S0025-5718-99-01065-0).
4. (de) E. Westzynthius, « Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind », Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors, vol. 5,‎ 1931, p. 1–37.

Articles connexes

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• Conjecture de Firoozbakht
• Conjecture de Legendre

• Arithmétique et théorie des nombres