Demi-plan de Poincaré

Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.

Le demi-plan de Poincaré (1882)

Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.

Géométrie

On considère le demi-plan supérieur :

${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}=\left\{z=x+iy~|~y>0\right\}.}$

Métrique

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {a^{2}\,\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\right)}{y^{2}}}.}$

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

${\displaystyle R=-{\frac {1}{a^{2}}}.}$

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.

Géodésiques

Les géodésiques^[1] sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : x = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses : y = 0 (en bleu) :

Homographies

Le groupe de matrices GL₂⁺(R) agit sur cet espace, par homographies^[2]. Plus précisément, soit g un élément de GL₂⁺(R) :

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \mathrm {det} (g)=ad-bc>0.}$

Son action sur un point z du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :

${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Groupes fuchsiens

Formes automorphes

Dynamique chaotique

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».

Voir aussi

• Géométrie hyperbolique et sa bibliographie
• Disque de Poincaré
• Formule des traces de Selberg
• Théorie du chaos
• Théorie ergodique
• Chaos quantique

Notes et références

1. On pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.
2. Le groupe GL₂⁺(R) est le sous-groupe de GL₂(R) formé par les matrices de déterminant positif.

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