Dodécaèdre tronqué

Dodécaèdre tronqué

Éléments

Faces	Arêtes	Sommets
32 triangles et décagones	90	60 de degré 3

Données clés

Type	Solide d'Archimède
Caractéristique	2
Propriétés	Semi-régulier et convexe, zonoèdre
Dual	Triaki-icosaèdre

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Patron (géométrie)

En géométrie, le dodécaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il possède 12 faces décagonales régulières, 20 faces triangulaires régulières, 60 sommets et 90 arêtes.

Relations géométriques

Ce polyèdre peut être formé à partir d'un dodécaèdre par troncature des coins, donc les faces pentagonales deviennent des décagones et les coins deviennent des triangles.

Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les sommets d'un dodécaèdre tronqué centré à l'origine :

${\displaystyle (0,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi ))\,}$

${\displaystyle (\pm (2+\varphi ),0,\pm {\frac {1}{\varphi }})\,}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi ),0)\,}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,\pm 2\varphi )\,}$

${\displaystyle (\pm 2\varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi )\,}$

${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 2\varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }})\,}$

${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 2,\pm \varphi ^{2})\,}$

${\displaystyle (\pm \varphi ^{2},\pm \varphi ,\pm 2)\,}$

${\displaystyle (\pm 2,\pm \varphi ^{2},\pm \varphi )\,}$

où ${\displaystyle \varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}}$ est le nombre d'or. En utilisant ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$, on vérifie que tous les sommets sont sur une sphère, centrée à l'origine. R rayon de la sphère circonscrite et a longueur de chaque arête sont liés par la relation :

${\displaystyle {\frac {a}{R}}=2{\sqrt {\frac {7-4\varphi }{17+\varphi }}}}$

Voir aussi

• dodécaèdre
• icosaèdre
• icosidodécaèdre
• icosaèdre tronqué

Références

• Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure : A Source Book of Design, 1979, (ISBN 0-486-23729-X)

Liens externes

• (en) Les polyèdres uniformes
• (en) Polyèdres en réalité virtuelle L'encyclopédie des polyèdres

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