Domaine effectif

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$ est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur ${\displaystyle +\infty }$.

Définition

Le domaine effectif (ou simplement domaine) d'une fonction ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$, définie sur un ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$, est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur ${\displaystyle +\infty }$ (elle peut y prendre la valeur ${\displaystyle -\infty }$ cependant). On le note le plus souvent

${\displaystyle \operatorname {dom} \,f:=\{x\in \mathbb {E} :f(x)<+\infty \}.}$

On accepte que ${\displaystyle f}$ prenne la valeur ${\displaystyle -\infty }$ sur son domaine pour que celui-ci soit convexe lorsque ${\displaystyle f}$ est convexe.

Propriété

Domaine d'une fonction convexe — Soient ${\displaystyle \mathbb {E} }$ un espace vectoriel et ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$ une fonction convexe. Alors le domaine de ${\displaystyle f}$ est convexe.

On notera cependant que le domaine d'une fonction convexe fermée n'est pas nécessairement fermé. Par exemple la fonction log-barrière

${\displaystyle \operatorname {l\!b} :x\in \mathbb {R} \mapsto \operatorname {l\!b} (x)=\left\{{\begin{array}{ll}-\log x&{\mbox{si}}~x>0\\+\infty &{\mbox{sinon.}}\end{array}}\right.}$

est convexe fermée, mais son domaine effectif ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}}$ n'est pas fermé dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Bibliographie

• (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. (ISBN 3-540-42205-6).
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

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