Décomposition de Doob-Meyer

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La décomposition de Doob-Meyer permet de décomposer un processus stochastique intégrable adapté en une martingale et un processus prévisible :

Soit $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ un processus intégrable $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ -adapté. La décomposition de Doob-Meyer est définie de la manière suivante :

$\forall n\in \mathbb {N} ,X_{n}=X_{0}+A_{n}+M_{n}$

$A_{0},M_{0}:=0$

$\forall n\geq 1,A_{n}:=\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1})$
$\forall n\geq 1,M_{n}:=\sum _{k=1}^{n}(\Delta X_{k}-\mathbb {E} (\Delta X_{k}|{\mathcal {F}}_{k-1}))$

Où $\{M_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ est une $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ -martingale et $\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ est un processus $\{{\mathcal {F}}_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ -prévisible. Cette décomposition est unique.

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