Elrigh Louw est né à Pretoria mais grandit dans le Gauteng, et il scolarisé à la Hoërskool Transvalia de Vanderbijlpark[3]. Il représente à cette période la province locale des Falcons, et dispute avec cette équipe la Craven Week dans la catégorie des moins de 18 ans en 2017[4],[5].
Après avoir terminé sa scolarité, il est recruté par la province des Free State Cheetahs, basée à Bloemfontein[4]. Avec sa nouvelle équipe, il joue avec les équipes des moins de 19 et 21 ans, dans le championnat provincial espoir[4],[6].
En , il est libéré de son contrat avec les Cheetahs pour rejoindre les Southern Kings, évoluant en Pro14[7],[8]. Il dispute son premier match au niveau professionnel avec cette équipe, le contre les Cardiff Blues[9]. Louw s'impose rapidement au poste de troisième ligne centre, et il est considéré comme l'un des joueurs les plus performant de son équipe, et un gros potentiel à son poste au niveau national[4],[10]. Il joue douze rencontres avec cette équipe, mais il est contraint de quitter la franchise à la fin de sa première saison, à cause de son dépôt de bilan[11].
Il s'engage peu après avec la franchise des Bulls, ainsi que province des Blue Bulls, pour un contrat de deux ans[12],[13]. Il joue dans un premier temps avec les Bulls, lors du Super Rugby Unlocked(en) à l'automne 2020[14]. Par ses solides performances, il confirme alors son potentiel entrevu aux Kings[15],[16]. Il est alors principalement utilisé au poste de troisième ligne aile à son arrivée aux Bulls, en raison de la présence de l'expérimenté SpringbokDuane Vermeulen en n°8[17]. Plus tard lors de la saison, il remporte la Currie Cup avec les Blue Bulls, puis dispute la Pro14 Rainbow Cup avec les Bulls[1]. Il manque toutefois les phases finales de la Rainbow Cup en raison d'une blessure au genou[18].
Il retourne à la compétition lors de la Currie Cup 2021, et profite de la blessure, puis du départ de Vermeulen pour s'imposer comme le troisième ligne centre titulaire[19]. Il est maillon essentiel du bon parcours de son équipe, qui remporte à nouveau la compétition[20],[21]. Louw est ensuite élu meilleur joueur de Currie Cup pour la saison 2021[22].
En 2021-2022, il dispute avec les Bulls leur première saison de United Rugby Championship, et termine la compétition à une place de finaliste[23],[24]. En , il prolonge son contrat avec les Bulls pour une durée exceptionnelle de cinq ans, portant son engagement jusqu'en 2027[25].
En , il est sélectionné pour la première fois avec les Springboks par le sélectionneur Jacques Nienaber pour préparer la série de test-matchs face au pays de Galles[28]. Il connaît sa première sélection lors du premier match de la série, le à Pretoria[29],[30].