Elyes est né à Westminster, à Londres (plus précisément au St Mary's Hospital), et a vécu au Canada avant de retourner au Royaume-Uni pour vivre à Bristol et Manchester. Il a étudié au Lycée catholique romain Saint-Damien à Ashton-under-Lyne. Il a ensuite été formé à Strodes College, à l'Atelier de Théâtre Oldham et dans la compagnie de théâtre Northern Kids.
Avant de commencer le tournage de Scorpion, Elyes s'est essayé à la musique. Il a posté ses vidéos où il chante ses propres chansons sur la chaîne Youtube : Roughened Verse Elyes. Mais le projet de devenir chanteur reconnu n'a pas marché et la musique pour lui est devenue un loisir.