Espace de Wiener

Norbert Wiener

En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, un espace de Wiener (introduit par le mathématicien Norbert Wiener) est un ensemble formé de toutes les fonctions continues sur un domaine donné (le plus souvent un intervalle de R) et à valeurs dans un espace métrique (en général l'espace euclidien à n dimensions). Les espaces de Wiener interviennent dans l'étude des processus stochastiques.

Définition

Soient E ⊆ Rⁿ et un espace métrique (M, d). L'espace de Wiener C(E; M) est l'espace des fonctions continues f : E → M, c'est-à-dire que pour tout t de E, ${\displaystyle d(f(s),f(t))\to 0}$ quand ${\displaystyle |s-t|\to 0.}$

Pour presque toutes les applications pratiques, on prend E = [0, T] ou [0, +∞) et M = Rⁿ pour un n entier fixé. On notera dans la suite C pour C([0, T]; Rⁿ) ; c'est un espace vectoriel. On note C₀ le sous-espace vectoriel de C formé des fonctions qui s'annulent en 0 ; C₀ est souvent appelé l'espace de Wiener classique.

Propriétés

Topologie de la convergence uniforme

L'espace vectoriel C peut être muni de la norme uniforme

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,T]}|f(t)|}$,

qui en fait un espace vectoriel normé, et même un espace de Banach. Elle induit une métrique sur C : ${\displaystyle d(f,g):=\|f-g\|}$ ; la topologie correspondante est la topologie de la convergence uniforme sur [0, T].

Interprétant le domaine [0, T] comme représentant le temps et Rⁿ comme l'espace, deux fonctions  f et g seront « proches » pour cette topologie si on peut déformer un peu l'espace pour faire coïncider les graphes de f et g en laissant le temps invariant ; ceci contraste avec la topologie de Skorokhod, autorisant à déformer également le temps.

Séparabilité et complétude

Pour la topologie uniforme, C est séparable et complet :

• la séparabilité est une conséquence du théorème de Stone-Weierstrass ;
• la complétude vient de ce que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est elle-même continue.

En conséquence (comme tout espace de Banach séparable), C est un espace polonais.

Tension des mesures

Le module de continuité pour une fonction f : [0, T] → Rⁿ est défini par

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|\left|s,t\in [0,T],|s-t|\leq \delta \right.\right\}.}$

Cette définition a un sens même si f n'est pas continue, et on montre que f est continue si et seulement si son module de continuité tend vers 0 quand δ → 0, autrement dit ${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0}$ quand δ → 0.

En appliquant le théorème d'Ascoli, on peut montrer qu'une suite de mesures de probabilité ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$ sur C est tendue si et seulement si les deux conditions suivantes sont remplies :

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C||f(0)|\geq a\}=0,}$ et

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C|\omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$ pour tout ε > 0.

Mesure de Wiener

Il y a une mesure "standard" sur C₀, la mesure de Wiener (parfois dite "mesure de Wiener classique"). On peut la définir à partir du mouvement brownien, considéré comme un processus de Markov B : [0, T] × Ω → Rⁿ, démarrant à l'origine, avec des chemins presque sûrement continus et des incréments indépendants ${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \mathrm {Normal} \left(0,|t-s|\right);}$ la mesure de Wiener γ est alors la loi (en) du processus B.

Cette mesure est une mesure gaussienne ; en particulier, c'est une mesure de probabilité strictement positive (en).

Partant de la mesure γ sur C₀, la mesure produit γⁿ × γ, où γⁿ note la mesure de Gauss sur Rⁿ , est une mesure de probabilité sur C.

La tribu de l'espace de Wiener classique

La tribu où la mesure de Wiener est définie ${\displaystyle {\mathcal {B}}(C_{0})=C_{0}\cap {\mathcal {B}}^{[0,T)}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma (Y_{t}:t\in [0,T])}$ est la plus petite tribu telle que les applications de coordonnées ${\displaystyle Y_{t}:C_{0}\to \mathbb {R} ^{n},\;y_{t}\mapsto \omega (t)}$ soient mesurables^[1].

Bibliographie

• Nadine Guillotin-Plantard, Introduction au calcul stochastique, Université de Lyon, 2009 (lire en ligne)
• Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, Singapour, World Scientific, 2004, 4th éd., 1468 p. (ISBN 981-238-107-4, lire en ligne)
• Henry Stark et John Woods, Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing, New Jersey, Prentice Hall, 2002, 3rd éd. (ISBN 0-13-020071-9)
• Rick Durrett, Probability : theory and examples, Cambridge University Press, 2000, 4th éd., 440 p. (ISBN 0-521-76539-0)
• Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Springer-Verlag, 1994, Second éd.

Voir aussi

• Espace de Skorokhod, une généralisation de l'espace de Wiener à des fonctions discontinues
• Processus de Wiener

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Classical Wiener space » (voir la liste des auteurs).

1. (en) René L. Schilling et Lothar Partzsch, Brownian Motion: An Introduction to Stochastic Processes, De Gruyter, 2012

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