Excursion brownienne

Une représentation de l'excursion brownienne.

Dans la théorie des probabilités, une excursion brownienne est un processus stochastique, qui est étroitement liée à un processus de Wiener (ou mouvement brownien). Les réalisations de l'excursion brownienne sont essentiellement des réalisations d'un processus de Wiener spécifique, qui satisfait à certaines conditions. En particulier, une excursion brownienne est un processus de Wiener conditionné à être positif et à prendre la valeur 0 au temps 1. On peut aussi le définir comme un pont brownien conditionné à être positif^[1].

Définition

Une représentation d'une excursion brownienne ${\displaystyle W}$ en termes d'un mouvement brownien W (due à Paul Lévy et notée par Kiyoshi Itō et Henry P. McKean, Jr^[2]) se donne en termes de la dernière fois ${\displaystyle \tau _{-}}$ que W atteint zéro, avant le temps 1 et la première fois ${\displaystyle \tau _{+}}$ que le mouvement brownien ${\displaystyle W}$ atteint zéro, après le temps 1:

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Si ${\displaystyle \tau _{m}}$ est le temps auquel un pont brownien ${\displaystyle W_{0}}$ atteint son minimum sur [0, 1], Vervaat (1979) montre que

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Notes et références

1. Durrett, Iglehart, Functionals of Brownian meander and Brownian excursion (1975)
2. Itô et McKean (1974, page 75)

Bibliographie

• Chung, Kai Lai (1975). «Maxima in Brownian excursions». Bulletin of the American Mathematical Society. 81 (4): 742–745. ISSN 0002-9904. doi:10.1090/s0002-9904-1975-13852-3.
• Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (1977). «Functionals of Brownian Meander and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 5 (1): 130–135. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995896.
• Groeneboom, Piet (1983). "The concave majorant of Brownian motion". Annals of Probability. 11: 1016–1027. JSTOR 2243513. MR 714964. doi:10.1214/aop/1176993450.
• Groeneboom, Piet (1989). "Brownian motion with a parabolic drift and Airy functions". Probability Theory and Related Fields. 81: 79–109. MR 981568. doi:10.1007/BF00343738.
• Itô, Kiyosi; McKean, Jr., Henry P. (2013) [1974]. Diffusion Processes and their Sample Paths. Classics in Mathematics (Second printing, corrected ed.). Springer-Verlag, Berlin.  (ISBN 978-3540606291). MR 0345224.
• Janson, Svante (2007). "Brownian excursion area, Wright's constants in graph enumeration, and other Brownian areas". Probability Surveys. 4: 80–145. MR 2318402. doi:10.1214/07-ps104.
• Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). "Tail estimates for the Brownian excursion area and other Brownian areas.". Electronic Journal of Probability. 12: 1600–1632. MR 2365879. doi:10.1214/ejp.v12-471.
• Kennedy, Douglas P. (1976). "The distribution of the maximum Brownian excursion". J. Appl. Probability. 13: 371–376. JSTOR 3212843. MR 402955 A.
• Lévy, Paul (1948). Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. Gauthier-Villars, Paris. MR 0029120.
• Louchard, Guy (1984). "Kac's formula, Levy's local time and Brownian excursion". J. Appl. Probability. 21: 479–499. JSTOR 3213611. MR 752014.
• Pitman, J. W. (1983). "Remarks on the convex minorant of Brownian motion". Progr. Probab. Statist. 5. Birkhauser, Boston: 219–227. MR 733673.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Continuous Martingales and Brownian Motion. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (Book 293). Springer-Verlag, Berlin. MR 1725357.
• Vervaat, Wim (1979). "A relation between Brownian bridge and Brownian excursion". Annals of Probability. 7: 143–149. JSTOR 2242845. MR 515820. doi:10.1214/aop/1176995155.

• Portail des probabilités et de la statistique